7.3*. Характеристическая функция

Мы говорили в предыдущих лекциях, что в теории вероятностей широко используются методы различных разделов математического анализа. Простейшие методы дифференциального и интегрального исчислений мы уже использовали при решении различных задач теории вероятностей. Сейчас мы познакомимся с методом характеристических функций, который в математическом анализе известен под именем преобразования Фурье.

Характеристической функцией случайной величины  называется математическое ожидание случайной величины e^it.

Если  есть НСВ с плотностью распределения f(x), то характеристическая функция будет иметь вид

(7.8)

Из этой формулы видно, что характеристическая функция отличается от преобразования Фурье плотности распределения только лишь множителем .

Если  есть ДСВ, то характеристическая функция будет иметь вид

. (7.9)

Перечислим некоторые свойства характеристических функций:

1) f(0) = 1, |f(t)| < 1.

2) Если =a+b, то

.

3) Если ₁ и ₂ – независимые случайные величины и =₁+₂, то

.

Данное свойство является тем основным свойством, благодаря которому характеристические функции нашли такое широкое применение в теории вероятностей. При суммировании независимых случайных величин их плотности распределения преобразуются по формуле свертки. Но формула свертки весьма неудобна для исследования, гораздо проще заменить ее простым перемножением характеристических функций.

4) Если случайная величина  имеет абсолютный момент n-го порядка, то характеристическая функция  дифференцируема n раз, причем для kn

Используя свойство 4 можно получить выражения для математического ожидания и дисперсии, которые выражаются через производные логарифма характеристической функции. Если

, (7.10)

то

(7.11)

Важнейшей особенностью характеристической функции f(t) является тот факт, что она однозначно определяет функцию распределения F(x). А именно справедлива следующая формула:

Теорема обращения. Для любых точек непрерывности x₁ и x₂ функции распределения F(x)

.

Отметим, что по своей сути формула обращения представляет собой разновидность обратного преобразования Фурье. Таким образом, определение характеристической функции вместе с формулой обращения устанавливает взаимно однозначное соответствие между функцией распределения и характеристической функцией.

Замечание. Между характеристическими и производящими функциями одной и той же случайной величины существует взаимосвязь, которая выражается равенством . Отметим, что производящая функция, по сути дела, обладает теми же свойствами, что и характеристическая функция, однако с производящими функциями проще обращаться.

Пример 7.3. Найти характеристическую функцию биномиального распределения.

Решение. Пусть  – ДСВ, подчиненная биномиальному закону распределения и принимающая значения 0, 1, 2, … n. Тогда характеристическая функция будет иметь вид

.

Используя характеристическую функцию, найдем математическое ожидание и дисперсию биномиального распределения. Поскольку

,

, ,

то, как и следовало ожидать,

Пример 7.4. Найти характеристическую функцию распределения Пуассона.

Решение. Пусть  – ДСВ, подчиненная закону распределения Пуассона и принимающая значения 0, 1, 2, … n. Тогда характеристическая функция будет иметь вид

.

Отсюда, в частности следует, что если =₁+₂, то ее функция распределения будет иметь вид

.

В силу взаимно однозначного соответствия между функцией распределения и характеристической функцией случайная величина  распределена по закону Пуассона с параметрами ₁+₂.

Пример 7.5. Найти характеристическую функцию показательного распределения.

Решение. Пусть  – НСВ, подчиненная показательному закону распределения. Тогда характеристическая функция будет иметь вид

.

Вычислим начальный момент n-го порядка случайной величины , распределенной по показательному закону. Воспользовавшись свойством 4, получим

.