![](/user_photo/_userpic.png)
- •Переходная и импульсная характеристики линейной цепи.
- •Операторные уравнения для временных характеристик.
- •Связь между характеристиками линейной цепи.
- •Временные характеристики типовых радиотехнических звеньев. Дифференцирующее звено.
- •Общие положения суперпозиционных методов анализа.
- •Спектральный метод анализа.
- •Условия неискажающей передачи сигнала через линейную цепь.
- •Временной суперпозиционный метод анализа с использованием характеристики цепи. Метод интеграла свертки.
- •Временной суперпозиционный метод анализа с использованием переходной характеристики цепи. Метод интеграла Дюамеля.
![](/html/78320/2188/html_sbZ96z5CI3.lvpQ/htmlconvd-YCLvNp19x1.jpg)
Рис.9.4.
Временной суперпозиционный метод анализа с использованием характеристики цепи. Метод интеграла свертки.
Задана линейная цепь (рис.9.5) с известной импульсной характеристикой. Требуется определить реакцию цепи x(t).
Рис.9.6.
Применив спектральный метод, записываем
x(t) = |
1 |
∞ K( jω)Ss (ω)e jωt dω |
(9.1) |
||||
|
|
||||||
|
|
2π −∞∫ |
|
|
|
||
Но здесь неизвестна спектральная функция входного сигнала. |
|||||||
Ее определяем через прямое преобразование Фурье: |
|||||||
Ss (ω) = ∞∫s(t)e− jωt dt = ∞∫s(θ)e− jωθ dθ |
|||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
Для удобства заменим переменную t на 8. Подставив полученное значение |
|||||||
Ss(w) в (9.1), записываем: |
|
||||||
x(t) = |
1 |
∞∫ K( jω) ∞∫s(θ)e− jωθ dθe− jωt dω |
|
||||
|
|
||||||
|
2π −∞ |
|
−∞ |
|
|||
Изменим последовательность интегрирования |
|||||||
x(t) = ∞∫ S(θ) |
1 |
∞∫K ( jω)e jω(t −θ )dωdθ |
|
||||
|
|
||||||
|
−∞ |
2π −∞ |
|
Согласно установленной ранее связи (см. тему 8) между g(t) и K(jw) второй интеграл можно заменить импульсной характеристикой цепи g(t-8), так как
K ( jω) = ∞∫g(t)e− jωt dt
−∞
А импульсная характеристика в свою очередь
g(t) = 1 ∞∫K ( jω)e jωt dω
2π −∞
Получаем выражение для выходного сигнала,
![](/html/78320/2188/html_sbZ96z5CI3.lvpQ/htmlconvd-YCLvNp20x1.jpg)
x(t) = ∞∫s(θ)g(t −θ)dθ, |
(9.2) |
−∞
которое называется интегралом свертки (интегралом наложения с использованием импульсной характеристики цепи).
Сигнал на выходе линейной цепи представляет свертку воздействующего колебания s(t) с импульсной характеристикой цепи g(t) с импульсной характеристикой цепи при t>=0, то в интеграле (9.2) нужно брать верхний предел интегрирования g(t-8), определена, при t-8>=0, т.е. при 8<=t. Учитывая все это,
x(t) = ∫t |
s(θ)g(t −θ)dθ, |
(9.3) |
−∞
Можно дать и графическое толкование такой замены верхнего предела
(рис.9.6).
Рис.9.6.
s(t) = {0 при |
t ≤0 |
s(t ) при |
t >0 |
То при t<0, g(t-8) и сигнал s(8) не перекрываются. Интеграл (9.2) в этом случае будет тождественно равен нулю.
Кроме того, если сигнал s(t)=0 при t<0, то в этом случае нижний предел в формуле (9.2) следует заменить на 0 и записать окончательно:
x(t) = ∫t |
s(θ) g(t -θ) dθ = ∫t |
g(θ) s(t -θ) dθ (9.4) |
0 |
0 |
|
Математически можно доказать, что в под интегральном выражении замена аргумента функций s(8) b g(t-8) не влияет на конечный результат. В этом случае импульсная характеристика может рассматриваться как воздействие, а воздействие - импульсная характеристика.
Если цепь имеет g(t)=б(t), то
x(t) = ∫t |
s(θ)δ(t −θ)dθ = s(t) |
0 |
|
Так получается потому, что б - функция обладает фильтрующим свойством
δ
∫δ(t −θ)dθ =1, а б(t-θ) ≠ 0 при t=θ
a
В линейной цепи с импульсной характеристикой в виде б - функции сигнал s(t), подаваемы на ее вход, не претерпевает никаких изменений, та как такая цепь имеет равномерную АЧХ в пределах частот от 0 до ∞, следовательно, является идеальной неискажающей цепью.
![](/html/78320/2188/html_sbZ96z5CI3.lvpQ/htmlconvd-YCLvNp21x1.jpg)
В реальных цепях длительность импульсной характеристики обычно больше, чем, б - импульса, т.е. больше нуля. Поэтому передаваемый сигнал будет несколько искажаться цепью, удлиняясь во времени (рис.9.7).
Рис.9.7.
Убедимся, что интеграл свертки является суперпозиционным интегралом. Его можно получить и другим путем. Пусть импульсная характеристика
цепи g(t), а на ее вход подается воздействие произвольной формы (рис.9.8).
Рис.9.8.
Разобьем воздействие на импульсы бесконечно малой длительности (рисю9.8). Реакция цепи к моменту времени t на воздействие импульса, приложенного в момент времени 8,
s(θ)dθ g(t -θ) = s(θ)g(t -θ)dθ,
Так как реакции цепи на элементарный импульс пропорциональна площади импульса s(8)d8. Если просуммировать элементарные реакции цепи к моменту времени t, то полная реакция цепи будет:
x(t) = ∫t s(θ)g(t −θ)dθ
−0
Это значит, что реакция цепи x(t) получается путем суммирования бесконечно большого числа элементарных импульсов, т.е. путем суммирования элементарных реакций цепи на элементарные воздействия. Это и есть принцип суперпозиции.
Временной суперпозиционный метод анализа с использованием переходной характеристики цепи. Метод интеграла Дюамеля.
Имеется линейная цепь, переходная характеристика h(t) которой известна
(рис.9.9).
На вход подается линейное воздействие s(t) требуется определить реакцию цепи x(t)
![](/html/78320/2188/html_sbZ96z5CI3.lvpQ/htmlconvd-YCLvNp22x1.jpg)
Рис.9.9.
Представим сигнал s(t) l(t) суммой элементарных сигналов вила A*l(t-t0), Где t0 = 0, ∆t, 2∆t, 3∆t и т.д., а величина А соответственно равна s(0); s( ∆t)-
s(0); s(2∆t)-s( ∆t), … и т.д. (рис.9.10). Тогда запишем:
s(t) = s(θ)1(t) +[s(∆t) - s(0)]1(t - ∆t) +[s(2∆t) - s(∆t)]* |
|
*1(t - 2∆t) +... +{s(k∆t) - s[(k -1)∆t]}1(t - k∆t) +... |
(9.5) |
Полученное выражение является довольно грубой моделью сигнала x(t). Для точного представления сигнала необходимо чтобы, ∆t-0, тогда «ступеньки» будут все мельче. Общий член ряда (9.5) можно представить в другом виде:
{s(k∆t) − s[(k −1)∆t]}1(t − k∆t) ={s(k∆t) − s(k∆t − ∆t)}1(t − k∆t) =
={ s(θ) − s(θ − ∆t)}1(t -θ)
Где θ =k∆t.
Разность [s(θ) − s(θ − ∆t)] |∆t →0 = ds(θ) = dsd(θθ) , а это есть не что иное, как дифференциал функции (8). Тогда общий член ряда:
[sθ) −s(θ −∆t)]1(t -θ) |∆t→0 = s′(θ)1(t -θ)dθ
Рис.9.10.
Втакомслучаеряд(9.5),которыйдаетзначениесигналаs(t)влюбоймомент времени t, можно записать.
s(t) = S(0+)1(t) +∑n |
{s(k∆t −s[(k −1)∆t]}1(t - k∆t) |∆t→0 |
|
|
|
k =1 |
|
|
= s(0+)1(t) + ∫t |
s′(t) |t =θ 1(t -θ) dθ |
(9.6) |
|
0+ |
|
|
|
Q может иметь любое значение от 0 до t
Определим реакцию цепи на элементарное слагаемое. Элементарный сигнал (рис.9.11)
a′(θ)1(t -θ)dθ = a′(θ)dθ 1(t -θ)
Рис.9.11.
Переходная характеристика цепи h(t) описывает реакцию ее на подобные сигналы. Если входное воздействие l(t-8), то реакция цепи- Mh(t-8). Следовательно, реакция цепи на элементарный сигнал:
a′(θ) dθ h(t -θ)
Результирующая реакция цепи определяется суммой (интегралом) от частных реакций:
x(t) = s(θ+)h(t) + ∫t s′(θ) h(t -θ)
0+
Полученное выражение и есть интеграл Джамеля, являющийся интегралом наложения. Интеграл Джамеля выражает реакцию пустой линейной цепи на внешнее воздействие. В качестве характеристики цепи используется ее переходная характеристика.
Запишем другие формы интеграла Джамеля и произведем замену переменной в выражении (9.7)
t −θ =τ; |
|
θ = t −τ; |
при θ = 0 →τ = t |
dθ = −dτ |
θ = t →τ = 0 |
Тогда: |
|
s′(θ) = s′(t −τ) = s′(t) |t =t −τ
В выражении для s(t) необходимо формально заменить t на t-τ
е |
0+ |
∫s′(θ)h(t −θ)dθ = −∫s′(t −τ)h(τ)dτ, |
|
0+ |
t |
где τ -переменная интегрирования. Где τ -переменная интегрирования.
Можно опять обозначить ее через θ , результат интегрирования от этого не зависит. И поменяв пределы интегрирования. Получим вторую форму интеграла Дюмеля.
x(t) = s(0+)h(t) +∑t s′(t −θ)h((θ)dθ |
(9.8) |
0+
Анализ показывает, что для любой линейной цепи интеграл Дюмеля является симметричной формой по отношению к внешнему воздействию и переходной характеристики цепи. Безразлично, что считать внешним воздействием, а что передаточной характеристикой при определении реакции
цепи. Например, s(t) = K (t)1(t), h(t) = A e-αt .
Положим
s(t) = A e-αt , а h(t) = K(t)1(t)
Поэтому существует еще две формы интеграла Дюмеля:
x(t) = h(0+ )s(t) + ∫t |
h′(θ) s(t −θ)dθ |
(9.9) |
0+ |
|
|
x(t) = h(0+ )s(t) + ∫t |
h′(t −θ) s(θ)dθ |
(9.10) |
0+
Все четыре формы дают один и тот же результат. Однако (9.7) и (9.8) предпочтительней, когда s(0+), проще вычисления.
(9.9) и (9.10)-когда h(0+). Выбирают форму интеграла согласно виду функции, описывающей внешний сигнал и переходную характеристику цепи.