Применение комплексного метода к анализу простых цепей гармонического тока

Анализ элементарных цепей гармонического тока

Ввиду того, что линейные цепи не изменяют частоту входного гармонического колебания, можно при решении задач расчета и анализа таких цепей сомножитель e jwt опускать. При этом достаточно учитывать только

• •

комплексную амплитуду входного колебания U m1 или I m1.

Получив в результате расчета комплексную амплитуду реакции цепи

U• m2 =Um2 e jψu 2

ее мгновенное значение можно записать как

Метод расчета и анализа цепей, при котором используются комплексные амплитуды (или комплексные действующие значения) электрических величин, получил название метода комплексных амплитуд.

Цепь с активным сопротивлением.

Предположим, что к активному сопротивлению R (рис. 5.1 а) приложено гармоническое напряжение, описываемое косинусоидальной функцией

u =Um cos (ωt+ψu)

Требуется определить мгновенное значение тока i. Комплексная амплитуда

•

напряжения Um = U m e jψu . Используя метод комплексных амплитуд, перейдем к

новой схеме (см. рис. 5.1 б). Комплексная амплитуда тока согласно закону Ома будет

Мгновенное значение тока получим в косинусоидальной функции как i = Re {I• m e jωt }= Im cos (ωt+ψu )

10

Сопоставив аналитические значения для напряжения и тока, делаем вывод, чтовактивномсопротивлениинапряжениеитоксовпадаютпофазе.Комплексная диаграмма напряжения и тока в активном сопротивлении приведена на рис. 5.1 в.

Для цепей с активным сопротивлением комплексная мощность может быть определена как

Как и следовало ожидать, согласно выражению (5.2) мощность S носит чисто активный характер.

Сдвиг фаз φ = ψu - ψi для активного сопротивления равен нулю. Коэффициент мощности cos φ=1, что свидетельствует о необратимом расходовании энергии электрического тока в данном элементе.

Цепь с индуктивностью.

На рис. 5.2 а изображена линейная индуктивность с заданным в ней линейным током

i= Im cos (ωt+φi )

Перейдем к комплексному представлению цепи с индуктивностью

(см. рис. 5.2 б). Комплексная амплитуда тока Im = I• m e jψi . Мгновенное значение напряжения на индуктивности и ток связаны соотношением

di uL=L dt

Следовательно комплексное мгновенное напряжение

Из выражения (5.3) следует, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол φ= π/2 (j= e jπ/2) иллюстрируетсяспомощьюкомплекснойдиаграммы, приведенной на рис. 5.2 в.

11

1

где Xc = ωC – модуль комплексного сопротивления ZC или просто емкостное

сопротивление.

Мгновенное значение тока через емкость (рис.5.3,а) получим на основании выражения (5.8):

u = Jm {jωCU• m e jωt }=

где ψi =ψu +π2 .

π

Таким образом, в цепи с емкостью ток опережает напряжение на угол 2 . Следовательно сдвиг фаз между напряжением и током

φ = ψu - ψi = ψu - ψu - π2 = −π2

Комплексное представление цепи с емкостью и комплексная диаграмма напряжения и тока в ней приведены на рис. 5.3 в, б.

Комплексная мощность в емкости

S• =U• I•* =U e jψu I e− j ψu +π2 =

Для емкости, также как и для индуктивности, абсолютное значение угла сдвига фаз |φ| = π/2. Следовательно мощность будет чисто реактивной и потери энергии в емкости отсутствуют.

Цепи с последовательным и параллельным соединением элементов R, L и С

Цепь с последовательным соединением элементов R, L и С.

Для анализа цепи (рис. 5.4) удобнее задать (считать известным) ток. Пусть мгновенный ток i = Im cos (ωt+ψi)

13

значение частоты ω. Графические зависимости сопротивлений XL, XС, R, X и Z от частоты ω приведены на рис. 5.5

xL = ωL

Z

X R

−XC = −ω1C

Рис. 5.5

Изучив эти зависимости, приходим к выводу, что в диапазоне частот ω = 0 … ω0 в цепи преобладающее влияние будет сказывать сопротивление

1

емкости XC = ωC . При этом ХL > Хс, X = XL - ХС < 0 и угол φ= ψu - ψi >0. С другой

стороны, при R > 0 согласно выражению (5.16) угол φ > -π/2. Следовательно, - π/2 < φ < 0. Цепь носит активно-емкостный характер. Эквивалентная схема и комплексная диаграмма цепи при 0 < ω < ω0 приведены на рис. 5.6 а.

При построении этой диаграммы считается заданным вектор I• m . Вектор

относительно вектора I• m . Значение эквивалентной емкости Сэ для заданной частоты ω в этом случае может быть найдено из соотношения

Im

Um X = Im XC Э = ωCЭ

Если частота ω = ω0 (см. рис. 5.5. б), при которой XL = ХС, то напряжения

напряжений). В цепи эти напряжения взаимно компенсируются (рис. 5.6 а). Реактивные сопротивления - индуктивное и ёмкостное - будут также взаимно компенсировать друг друга, и общее реактивное сопротивление X = XL - ХС = 0. Цепь носит чисто активный характер:

15

то помножив, например каждую из сторон треугольника сопротивлений на

квадрат модуля комплексного действующего значения тока I• , получим треугольники мощностей для двух характерных случаев, когда φ>0 и φ<0 (рис. 5.8 а, б). На основании этих построений получаются соотношения

Рис.5.8

Ввидутого,что0< |φ|< π/2,вцепибудутиметьместоактивнаяиреактивная мощности, характеризующие соответственно скорость преобразования электромагнитной энергии в другие вида (потери) и скорость обмена энергией между цепью и внешним источником.

Вслучаеболеепростойцепиприпоследовательномсоединенииэлементов R, СилиR, L - соотношения(5.14) - (5.16)будуттакжесправедливы.Приэтомпод реактивным сопротивлением следует понимать сопротивление элемента С или L. К таким цепям можно прийти, если принять в цепи R, L, С ХL= 0 или Хс= 0.

Цепь с параллельным соединением элементов R, L, С.

Предположим, что задано гармоническое напряжение на зажимах цепи

u = Um cos (ωt+ψu)

Определим ток i и проанализируем свойства цепи (рис. 5.9). Комплексная амплитуда напряжения

Um=Um eϕu

Согласно первому закону Кирхгофа можем записать, что комплексная амплитуда тока

I• m = I• m R+ I• m L+ I• m C

17

Рис. 5.9

Используя закон Ома, получим

где Y - комплексная проводимость всей цепи g - активная проводимость

bL, bC -реактивные, соответственно индуктивная и ёмкостная проводимости,

Аргумент φ имеет смысл угла сдвига фаз между напряжением и током. Минус перед φ в выражении (5.27) обусловлен тем, что комплексная проводимость есть величина обратно пропорциональная комплексному сопротивлению:

где Im= Um Y.

Чтобы определить характер цепи, необходимо уточнить знак угла φ. Согласно выражениям (5.26) и (5.27), если bL > bC, то b > 0 и Y = g - jb. При этом цепь будет носить активно-индуктивный характер, в которой ток будет запаздывать по фазе относительно напряжения на угол φ. При bС>bL, b<0 и

18

Y=g+j|b|. Если характер цепи активно-емкостный, ток будет опережать напряжение на угол φ. Когда bL=bC имеет место резонанс токов (токи в индуктивной и емкостной ветвях равны по величине и сдвинуты по фазе на угол

π).

Комплексная диаграмма и треугольник проводимостей для случая bL>bC приведены на рис. 5.10.

j

Рис. 5.10

Такимобразам,свойствацеписпараллельнымсоединениемэлементов R, L, С характеризуются комплексной проводимостью.

ПрипараллельномсоединенииэлементовR, L, илиR, С соотношения(5.24)- (5.26) также могут использоваться с учетом того что bC или bL равны нулю.

19