Добавил:

karavashkinaviydetzamenya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

LR_TsOS_6_DPF

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.04.2024

Размер:

2.39 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Федеральное агентство связи ордена Трудового Красного Знамени

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

Кафедра радиотехнических систем

Практикум по дисциплине

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

Лабораторная работа № 7

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. АЛГОРИТМ БЫСТРОГО ПРЕБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ КУЛИ-ТЬЮКИ

Москва, 2016 г

УДК 621.391:519.27

План подготовки УМД 2015/2016 уч. года

Практикум по дисциплине

«ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ»

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. АЛГОРИТМ БЫСТРОГО ПРЕБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ КУЛИ-ТЬЮКИ

В лабораторной работе №6 производится изучение дискретного преобразование Фурье и его свойств, а также алгоритмы быстрого преобразования Фурье.

Основной применяемый метод экспериментального исследования – имитационное моделирование на персональной ЭВМ с применением среды имитационного моделирования радиотехнических систем «Спектр-2».

Для студентов радиотехнических и телекоммуникационных специальностей.

Список лит. 3 назв., ил. 20, табл. 2.

Составители: Лобов Е.М., Смердова Е.О. Рецензент

Издание утверждено советом факультета Радио и Телевидения. Протокол № … от

_._.2016 г.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. АЛГОРИТМ БЫСТРОГО ПРЕБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ КУЛИ-ТЬЮКИ

Цель работы: изучение дискретного преобразования Фурье и алгоритмов быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени и по частоте.

Номер варианта выбирается студентом из следующей таблицы:

Таблица 1. Исходные данные для выполнения лабораторного задания

Переменная

Nбр

fд

Назначение

Номер бригады

Период (длина) последовательности

Частота дискретизации

Период дискретизации

Амплитуды дискретных гармоник

Частота дискретной гармоники

Значение

Nбр

N 1024
f	д	2000(N	бр		mod 5 1)
	д		бр
T 1		f
		д
A 1 0, 01N				бр
	1			бр

A		2 A
	2			1
f2 fд / 8
f	2	f	д	/ 16

N	бр	1, 2,3...30
	бр

Таблица 2. Исходные данные для выполнения домашнего расчёта

Номер	Последовательность	x(n)	Номер	Последовательность x(n)
бригады	Последовательность	x(n)	бригады	Последовательность x(n)
бригады			бригады

1	x(n) [11111 0 0 0]		16	x(n) [0 0 11111 0]
1			16

2	x(n) [0 11111 0 0]		17	x(n) [1111 0 0 0 1]
2			17

3	x(n) [0 0 0 11111]		18	x(n) [1 0 111 0 0 1]
3			18

4	x(n) [11 0 0 111 0]		19	x(n) [11 0 111 0 0]
4			19

5	x(n) [11 0 0 11 0 0]		20	x(n) [0 11 0 111 0]
5			20

6	x(n) [11 0 0 0 111]		21	x(n) [0 0 11 0 111]
6			21

7	x(n) [1111 0 0 0 0]		22	x(n) [ 0 1111 0 0 0]
7			22

8	x(n) [111 0 1 0 11]		23	x(n) [ 0 0 1111 0 0]
8			23

9	x(n) [0 11 0 0 0 11]		24	x(n) [0 0 0 1111 0]

10	x(n) [0 1111 0 11]		25	x(n) [ 0 0 0 0 1111]
10			25

11	x(n) [0 0 111 0 11]		26	x(n) [1 0 0	0 0 111]
11			26

12	x(n) [0 111 0 0 11]		27	x(n) [11 0	0 0 0 11]
12			27

13	x(n) [0 11 0 0 11 0]		28	x(n) [111 0 0 0 0 1]
13			28

14	x(n) [0 0 11 0 0 11]		29	x(n) [111 0 0 111]
14			29

15	x(n) [1 0 0 11 0 0 1]		30	x(n) [1 0 1	0 0 1 0 1]
15			30

1 Домашний расчёт

1.1 Домашний расчёт состоит из следующих пунктов:

1.Расчёт дискретного преобразования Фурье (ДПФ) по общей формуле.

2.Расчёт ДПФ по алгоритму быстрого преобразования Фурье (БПФ) КулиТьюки (прореживание по времени).

3.Расчет ДПФ прореженных последовательностей. Сравнить результаты с БПФ.

Пример расчёта домашнего задания

1.2Расчёт дискретного преобразования Фурье по общей формуле (в классической форме)

Прямое дискретное преобразование Фурье последовательности

x(n)

длины

записывается в форме:

N 1

X (k) x(n)e

(1)

n 0

где e

- поворачивающий множитель,

WN e

Заметим, что количество коэффициентов ДПФ

X (k) равно количеству

отсчетов входной последовательности

x(n)

, то есть равна N .

Пусть дана исходная последовательность

x(n)

, длиной

N 8

, равная

[11100011] . Вычислим по формуле (1) её коэффициенты ДПФ. Раскроем сумму по n в правой части формулы:

X (k) x(n)e j

x(n)e j

4 nk x(0)e j

0k x(1)e j

4 k

x(2)e j

n 0

x(3)e

x(4)e

x(5)e

x(6)e

x(7)e

Проведя несложные математические сокращения и, учитывая, что четвёртый и пятый члены последовательности равны нулю ( x(3) = x(4) = x(6) =0), получим следующее выражение:

третий,

X (k) x(0) x(1)e

x(2)e

x(6)e

x(7)e

j	7	k
	4

(2)

Далее, учитывая, что

изменяется в интервале от 0 до

N 1 7

коэффициенты ДПФ с помощью формулы (2), применяя экспоненты (поворачивающего множителя) по формуле Эйлера:

e	jx	cos(x) j sin(x)
e		cos(x) j sin(x)
Для k 0

рассчитаем

разложение

(3)

X (0) x(0) x(1) x(2) x(6) x(7) 5 .

Так как значения x(0) , x(1) , x(2) , x(6) , x(7) равны между собой и равны единице, то при вычислении последующих коэффициентов ДПФ их запись можно опустить.

Для k 1

				j						j											j			3								j			7
X (1) 1 e				j		4	e			j			2			e					j			2		e						j			4		1 cos										j sin									cos								j sin
X (1) 1 e							e									e										e											1 cos										j sin									cos								j sin


																																										4									4									2						2
cos	3			j sin					3										cos								7										j sin			7						1				2 2.414
cos				j sin									2						cos												4						j sin				4					1				2 2.414
			2										2																		4										4
Для k 2
					j					j										j3											j		7
										j										j3
X (2)		1 e				2	e								e											e								2			1 cos								j sin								cos j sin
X (2)		1 e					e								e											e											1 cos								j sin								cos j sin

																																											2									2
cos 3																										7													7
cos 3					j sin 3 cos																						2										j sin		2				1
																											2												2
Для k 3
				j		3					j			3									j		9								j			21							3										3									3
				j							j												j										j

X (3) 1 e						4	e								2			e								2		e									4 1 cos												j sin									cos
X (3) 1 e						4	e								2			e								2		e									4 1 cos												j sin									cos
																																														4										4									2
			3					9																						9									21											21
			3					9																						9									21											21
j sin					cos													j sin																			cos							j sin											1						2	0.414
j sin					cos													j sin																			cos							j sin											1						2	0.414
			2					2																								2									4											4
Для k 4
X (4)		1 e			j		e		j 2								e					j 6				e						j 7					1 cos j sin cos 2 j sin 2
X (4)		1 e					e										e									e											1 cos j sin cos 2 j sin 2
cos 6 j sin 6 cos 7 j sin 7 1
Для k 5
					j	5						j		5									j		15										j		35									5										5									5
X (5)		1 e			j	4	e					j			2			e					j			2			e						j		4	1 cos								5				j sin						5			cos						5
X (5)		1 e					e											e											e									1 cos												j sin									cos

																																																								4
																																														4										4									2	.
																																																																		.
j sin			5		cos			15												j sin									15									cos			35							j sin				35					1						2 0.4
j sin					cos								2							j sin														2				cos					4					j sin						4			1						2 0.4
			2										2																					2									4											4

Для k 6

		j		3			j3				j9					j		21						3						3
							j3				j9													3						3
X (6)	1 e			2	e				e					e					2		1 cos							j sin				cos 3
X (6)	1 e				e				e					e							1 cos							j sin				cos 3

																									2						2
j sin 3 cos 9 j sin 9																						21							21
j sin 3 cos 9 j sin 9																cos						2		j sin					2	1
																						2							2
Для k 7																									7						7				7
X (7) 1 e		j		7	e		j	7	e			j	21		e		j			49					7				j sin		7			cos	7
				7				7					21							49
				4				2					2							4	1 cos
				4				2					2							4
																										4						4
																										4						4			2
j sin	7		cos			21				j sin					21						cos		49				j sin			49			1		2 2.414
j sin			cos				2			j sin						2					cos			4			j sin				4		1		2 2.414
	2						2									2								4							4

Выпишем отдельно получившиеся коэффициенты ДПФ:

X (k) 5, 1	2,

На этом расчёт окончен.

1, 1-	2, 1, 1-	2,	1, 1	2	.

дискретного преобразования Фурье по общей формуле

1.3Расчёт коэффициентов ДПФ с помощью быстрого преобразования Фурье с прореживанием по времени

На рисунке 1 показан алгоритм БПФ «бабочка» с прореживанием по времени. Найдём коэффициенты ДПФ, воспользовавшись этим алгоритмом.

Рисунок 1. Алгоритм БПФ Кули-Тьюки с прореживанием по времени

Для нахождения восьмиточечного ДПФ необходимо проредить последовательность по времени 3 раза, причем одноточечные ДПФ, получившиеся в конце прореживания, равны значениям исходной

последовательности

(одноточечные

последовательности

являются

результатом

двоичной

инверсной

перестановки

исходной

последовательности см. пункт 4)

Выполним алгоритм БПФ пошагово, пользуясь рисунком 1.

Найдём

коэффициенты

ДПФ

промежуточных

двухточечных

последовательностей

x20 (n) , x21(n) , x22 (n)

, x23

(n) :

(0) X

(0) W

0 X

(0) x(0) x(4) 1

(1) X

(0) W

(0) x(0) x(4) 1

(0) X

(0) W

(0) x(2) x(6) 2

(1) X

(0) W

(0) x(2) x(6) 0

(0) X

(0) W

(0) x(1)

x(5) 1

(1) X

(0) W

(0) x(1) x(5) 1

(0) X

(0) W

(0) x(3) x(7) 1

(1) X

(0) W

(0) x(3) x(7) 1

Поворачивающий множитель W

0 равен единице.

Теперь, вычислим коэффициенты ДПФ последовательностей x10 (n) и x11(n) :

X		(0) X				(0) W			0	X					(0) 3
X	10	(0) X		20		(0) W				X			21		(0) 3
	10			20				8					21
X		(2) X				(0) W			0		X				(0) 1
X	10	(2) X		20		(0) W					X			21	(0) 1
	10			20				8						21
																						j
X		(1) X			(1) W			2		X					(1) X					(1) e		j		2		X			(1) 1
								2
	10		20										21					20									21
	10		20			8							21					20									21
																							j
X		(3) X				(1) W		2				X				(1) X					(1) e		j		2	X				(1) 1
								2
	10			20										21					20									21
	10			20			8							21					20									21
X		(0) X				(0) W			0	X					(0) 2
X	11	(0) X		22		(0) W				X			23		(0) 2
	11			22				8					23
X	11	(2) X		22		(0) W			0 X				23		(0) 0
	11			22				8					23
																						j
X		(1) X			(1) W			2		X					(1) X					(1) e		j			2	X			(1) 1 j
								2
	11		22										23					22									23
	11		22			8							23					22									23
																					(1) e j
X	11	(3) X		22		(1) W		2 X						23	(1) X				22		(1) e j				2	X		23	(1) 1 j .
	11			22		8								23					22									23
Последний						шаг						–					нахождение									коэффициентов ДПФ исходной
последовательности												x(n)					.
последовательности																	.

X (0) X10 (0) W80 X11 (0) 5

X (4) X10 (0) W80 X11(0) 1

																													j
X (1) X			(1) W			1			X								(1) X								(1) e				j			4	X				(1) 1			2	2.414
						1
	10												11									10													11
	10			8									11									10													11
																														j
X (5) X				(1) W			1			X								(1) X								(1) e				j		4	X					(1) 1		2	0.414
							1
		10												11									10													11
		10			8									11									10													11
																																j
X (2) X				(2) W				2				X								(2)	X							(2) e				j		2		X			(2) 1
								2
		10														11									10													11
		10					8									11									10													11
																																j
X (6) X				(2) W				2				X								(2)	X							(2) e				j		2	X				(2) 1
								2
		10														11									10													11
		10					8									11									10													11
																															j		3
X (3) X				(3) W				3			X								(3)		X						(3) e				j			4		X			(3) 1		2 0.414
								3
		10													11									10														11
		10				8									11									10														11

X (7)

X		(3) W	3	X		(3)
	10				11
		8

			j	3
X		(3) e	j	4	X		(3) 1	2
X		(3) e			X		(3) 1	2

	10					11

2.414

Выпишем отдельно результат, полученный по алгоритму БПФ:


X (k) 5, 1 2, 1, 1-			2, 1, 1- 2, 1, 1 2

Значения коэффициентов ДПФ, посчитанные по общей формуле и по алгоритму БПФ совпадают.

На этом расчёт дискретного преобразования Фурье по алгоритму быстрого преобразования Фурье окончен.

1.4Расчёт коэффициентов ДПФ промежуточных последовательностей x10 (n) и x20 (n) по общей формуле. Сравнить результат с

результатом, полученным при вычислении промежуточных последовательностей БПФ.

Рассчитаем по общей последовательности x10 (n

)

формуле	коэффициенты ДПФ промежуточной
(см.(1)),	где x10 (n) - результат разбиения исходной

временной

последовательности

x(n)

, включающий в себя только четные

x(n)

коэффициенты

( нулевой, второй, четвёртый и шестой): x

(n) 1101 .

Длина последовательности

x10 (n)

N 4 .

X10 (k) x10 (n)e j

2 nk

x10 (0) x10 (1)e j 2 k x10 (2)e j k x10 (3)e j

n 0

(0) x (1)e

(3)e

k 0...N 1 0...3 .

Для k 0

X (0) x10 (0) x10 (1) x(3) 3 .

Для k 1

(1) 1 x

(1)e

(3)e

1 cos

j sin

cos

j sin

Для k 2

X10

(2) 1 x10

(1)e

x10

(3)e

cos j sin cos 3 j sin 3 1.

Для k 3

(3) 1 x

(1)e

(3)e

cos

j sin

cos

j sin

Последовательность X10

(k)

имеет вид:

X10

(k) 3, 1, -1,

1 , который совпадает

с результатами промежуточных вычислений БПФ.

Рассчитаем аналогичным образом коэффициенты ДПФ последовательности

x20 (n) , включающей в себя каждый второй член последовательности

x10

(n)

начиная

x20

(n) 1 0 . Длина последовательности

x20 (n)

N 2 .

(k)

(n)e

j nk

x (0) x

(1)e

j k

(0) .

n 0

В данном случае коэффициенты единице.

X 20 (0) 1

, X 20 (1) 1.

X	20	(0)
	20

X	20	(1)
	20

равны меду собой и равны

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Цифровая обработка сигналов

#
22.04.20242.25 Mб11LR_TsOS_1_LDS.pdf
#
22.04.20242.74 Mб7LR_TsOS_2_BIKh.pdf
#
22.04.20241.52 Mб7LR_TsOS_3_BIKh_K.pdf
#
22.04.20241.09 Mб4LR_TsOS_4_BIKh_IKh.pdf
#
22.04.20242.72 Mб2LR_TsOS_5_KIKh_KAJZER.pdf
#
22.04.20242.39 Mб1LR_TsOS_6_DPF.pdf
#
22.04.2024124.87 Кб5TsOS_7_laba.mcdx
#
22.04.2024110.44 Кб11TsOS_7_laba.xmcd
#
22.04.2024135.11 Кб8TsOS_VOPROSY_1.docx
#
22.04.20247.83 Кб12лаба6.mcdx
#
22.04.20245.85 Кб15лаба7.mcdx