Понятие о рекуррентных формулах
Иногда интегрирование по частям позволяет
получить соотношение между неопределенным
интегралом, содержащим степень некоторой
функции, и аналогичным интегралом, но
с меньшим показателем степени той же
функции. Подобные соотношения называются
рекуррентными формулами.
Выведем рекуррентную
формулу для интеграла
,
гдеn
– целое положительное число.
При n=1
имеем табличный интеграл
.
Пусть n1.
Представив единицу в числителе как
разность
,
получим
.
Во втором интеграле применим метод
интегрирования по частям:
,
,
,
.
Тогда
.
Следовательно,
![](/html/2706/564/html_LgRgaZYuQK.OPGT/img-V8RkFW.png)
,
откуда![](/html/2706/564/html_LgRgaZYuQK.OPGT/img-AlT_UM.png)
.
Таким образом,
интеграл
выражен через
:
(n1)
.
Проверим нашу
готовность приступить к интегрированию
основных классов элементарных функций,
вычислив интеграл
,
последовательно применяя методы
непосредственного интегрирования,
подведения функции под знак дифференциала
и интегрирование по частям.
![](/html/2706/564/html_LgRgaZYuQK.OPGT/img-8YGvj1.png)
![](/html/2706/564/html_LgRgaZYuQK.OPGT/img-PwAdZx.png)
.
Вычислим также интеграл
I=![](/html/2706/564/html_LgRgaZYuQK.OPGT/img-YmnkK5.png)
Далее
полагаем u=eax
, dv=cosbxdx,
du=aeaxdx,
v=
sinbx.
Следовательно![](/html/2706/564/html_LgRgaZYuQK.OPGT/img-P1ktlY.png)
Получаем уравнение
относительно неизвестного интеграла
I. Решая его, находим
или
=
.
Дифференциал функции
сохраняет
одно и то же выражение независимо от
того, является ли ее аргументuнезависимой переменной или функцией
от независимой переменной. Это свойство
называется инвариантностью, т.е.
неизменностью формы дифференциала.