![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
3. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Рассмотрим ряд случаев, когда заменой переменной можно свести интегрирование иррациональных функций к интегрированию рациональных функций (т.е., как говорят, рационализировать интеграл).
Прежде
всего отметим, что, если подынтегральное
выражение содержит только линейную
иррациональность
то
можно использовать подстановку
.Так,
например, если
,
то, полагая
,
имеем
.
а) Интегралы вида
,
гдеn
– натуральное число. Символ
означает рациональную функцию отх
и
.
Подстановка
(n
– общее наименьшее кратное показателей
всех радикалов, под которыми х
входит в подынтегральную функцию) сводит
рассматриваемый интеграл к интегралу
рациональной дроби.
Пример 23.
Найти
.
Положим
.
Тогда
.
Следовательно,
.
б) Интегралы
вида ,
гдеа, b, с и d– постоянные числа,n–
натуральное
число, аd – bс
0.
Функцию виданазывают дробно-
линейной
иррациональностью. Замена
рационализирует интеграл. В самом деле,
,
откуда
- рациональная функция отt.
Далее,
.
Поэтому:
где
- рациональная функция отt.
Пример 24.
Найти
.
Полагая
,
получим
,
.
Таким образом,
.
в) Интегралы
вида путем выделения полного квадрата из
квадратного трехчлена приводятся к
рассмотренным выше интегралам (см.
примеры 14 и 20 лекция 2).
Пример
25. .
Пример
26. .
г) При вычислении
интегралов вида следует предварительно выделить в
числителе производную квадратного
трехчлена, стоящего под знаком корня
,
и разложить искомый интеграл на сумму
двух интегралов:
Первый
интеграл из полученных легко вычисляется
при помощи подстановки
и равен
,
а второй рассмотрен в пункте в).
Пример 27.
Найти.
Выделяя в числителе производную подкоренного выражения, получим:
.
д)
Интегралы вида с помощью подстановки
приводятся к рассмотренным в пункте
в).
Пример 28.
Найти.
Полагаем
,
тогда
.
Следовательно,
.
е) Интегралы
вида,
гдеа, b, с–
некоторые числа;
0;R– рациональная функция отхи от
.
Функцию
называют квадратичной иррациональностью.
Если
трехчлен
имеет вещественные корних1,х2(х1х2) иа0, то
.
Следовательно,
,
т.е получаем интеграл, рассмотренный в пункте б).
Если х1=х2, то,
т.е. под знаком интеграла находится
рациональная
функция от х. Поэтому будем считать,
чтоне имеет вещественных корней иа0. Тогда рационализация интеграла может
быть достигнута с помощью подстановки
Эйлера:
Отсюда,
т.е.
-
рациональная функция отt.
Следовательно,
- также рациональная функция отt.
Поэтому
.
В качестве примера рассмотрим
,
вычисление которого представлено выше
(см. лекция 3, пример 10) методом интегрирования
по частям.
Бином
не имеет вещественных корней. Поэтому
полагаем
,
,
и
,
.
В силу этого
.
Учитывая, что
,
окончательно получаем:
.Ñ
Если в трехчлене
,а0, ас0, то для рационализации интеграла можно
применить другую подстановку Эйлера:
.
Пример 29.
Найти.
Трехчлен
имеет комплексные корни иа0,с0, поэтому
воспользуемся подстановкой
.
Возводя обе части равенства в квадрат,
получаем:
,
или
.
Отсюда:
Таким образом,
.
Следует отметить, что вычисление интегралов с помощью подстановки Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким выкладкам, поэтому их следует применять, только если данный интеграл не удается вычислить более коротким способом.
Применим эйлерову подстановку к
вычислению интеграла
.
Имеем
.
Значит,.
Следовательно,
.
При вычислении интегралов рассматриваемого вида применяются также
искусственные
приемы. Рассмотрим в качестве примера
интеграл
.
Полагая
получаем
.
Проводим следующую цепочку преобразований:
Вычислим
интеграл
.
Таким образом, имеем:
.
Возвращаясь к исходной переменной x,получаем
ж)
Интегралы вида: 1.,
2.
,
3.
приводятся
к интегралам от рациональной относительно
и
функции с помощью “тригонометрической
подстановки”:
для
интеграла 1:
(или
),dx=a
costdt,
,
для
интеграла 2:
(или
),
,
для
интеграла 3:
(или
),
.
Пример 30.
Найти.
Так
как –2 х2, то, положивнайдем
.
Следовательно,
.
Перейдем в полученном результате снова к переменной х. Имеем:
,
,
.
Так как
,
,
то
.
Таким образом,
.
Отметим, что рассмотренный интеграл можно вычислить и методом интегрирования по частям (см. лекция 3, пример 11).
“Острота зрения” должна подсказывать
рациональный путь вычисления интегралов
в тех случаях, когда вид подынтегральной
функции “подталкивает” к применению
кажущейся очевидной подстановки. Так,
например, к интегралуне следует применять подстановку
,так как
.