
2. Интегрирование тригонометрических функций
а) Интегралы вида
,
где R
– рациональная функция от
и
от
,
могут быть сведены к интегралам от
рациональной функции нового аргументаt
подстановкой
,
(-
х
),
которую называют универсальной.
Действительно,
,
.
Из подстановки
следует, что
,
.
Таким образом,
,
где
- рациональная функцияt.
Пример 9.
(см.
лекцию 2,пример
23).
Пример 10.
Найти
Полагаем
.
Тогда:
.
Частные подстановки
Универсальная
подстановка
во многих случаях приводит к сложным
вычислениям, так как при ее применении
и
выражаются черезt
в виде рациональных дробей, содержащих
.
В указываемых ниже случаях предпочтительнее следующие частные подстановки, также рационализирующие интеграл.
а*)
Если
- нечетная функция относительно
,
т.е.
,
то интеграл рационализируется подстановкой
.
Пример 11.
Найти
.
Полагая
,
найдем
,
,
.
Поэтому
.
Можно было бы
избежать выражения
и
черезt,
проведя следующие
преобразования:
.
б*) Если
функция
нечетная относительно косинуса, т.е.
,
то применима подстановка
.
Пример 12.
Найти
.
Полагаем
.
При этом
,
Рассмотренный
интеграл можно преобразовать, подведя
под знак дифференциала, после чего
воспользоваться подстановкой
.
.
в*)
Если
- четная функция относительно
и
,
т.е., если
,
то к цели приводит подстановка
.
Пример 13.
Найти
Полагаем
.
Тогда
,
,
,
.
Имеем
.
К выводу о
целесообразности применения подстановки
можно придти, разделив в исходном
интеграле числитель и знаменатель на
:
.
Пример 13а.
Найти
.
.
Отметим, что подстановка x=tgt может быть применена к некоторым интегралам от рациональных дробей.
Вычислим с помощью
этой подстановки интеграл
, рассмотренный в конце лекции3.
Имеем:
.
Учитывая,
что t=arctg
x,
приходим
к ответу:
.
Хотя частные подстановки, когда они применимы, обычно приводят к более простым выкладкам, чем универсальная подстановка, однако в ряде случаев она обеспечивает кратчайший путь. Поэтому при выборе подстановки нужна известная осмотрительность.
Пример 14.
Найти
.
Так как подынтегральная функция нечетна
относительно синуса, то применима
подстановка
.
При такой подстановке получим:
.
Таким образом, приходим к не очень простому интегралу рациональной дроби.
Попробуем универсальную
подстановку
.
Тогда
,
,
и получаем
.
Универсальная подстановка оказалась предпочтительнее.
б) Интегралы вида
.
Выделим три случая, имеющие особенно важное значение.
Случай 1.
Если, по крайней мере, один из показателей
m
или n,
нечетное положительное число, то,
отделяя от нечетной степени один
сомножитель и выражая с помощью формулы
оставшуюся четную степень через
дополнительную функцию, приходим к
табличному интегралу. Таким образом, в
этом случае интеграл берется
непосредственно.
Пример 15.
Найти
.
Здесь показатель степени косинуса
равен трем, поэтому делаем подстановку
,
.
Тогда:
.
Случай 2. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа.
Применение формул
,
,
позволяет повторным уменьшением вдвое
показателей степеней синуса и косинуса
свести рассматриваемые интегралы к
легко вычисляемым.
Пример
16.
Найти
.
Имеем
Случай 3.
Если m
+ n
является целым четным отрицательным
числом, то целесообразно использовать
подстановку
или
.
Пример 17.
Найти
.
Здесь m
+ n
=
.
Поэтому вычисление интеграла сводится
к интегрированию степеней тангенса:
.
В общем случае
интегралы вида
,
гдеm
и n
- целые числа, вычисляются с помощью
рекуррентных формул, которые, как
показано выше, выводятся путем
интегрирования по частям.
В частности, интегралы от нечетной положительной степени секанса или косеканса проще всего находятся по рекуррентным формулам:
,
.
Выведем рекуррентную
формулу для
и с ее помощью найдем
.
Имеем:
.
Для вычисления первого интеграла применяем формулу интегрирования по частям:
Отсюда получаем:
Итак,
интеграл
выражен через
:
.
В
частности, при n
= 1 имеем:
.
в) В теории рядов Фурье важное значение имеют интегралы
Тригонометрические формулы:
,
,
,
дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.
Пример
18. Найти
.
Имеем
.
Пример
19.
=
.
Пример 20.
.
г) Интегралы вида
,
где n
– целое положительное число.
При нахождении таких интегралов применяются формулы:
и
с помощью которых последовательно понижается степень тангенса или котангенса. Эти же формулы используются для нахождения интегралов вида:
,
где n – четное положительное число.
Пример
21. Найти
.
Имеем
.
Этот пример
показывает, что интеграл
фактически
берется способом
“отщепления”:
.
Первый из интегралов вычисляется непосредственно, а второй является интегралом исходного вида, но более простым, так как степень tgx снижается на две единицы.
Пример
22. Найти
.
Имеем
.
В заключение проверим свою «техническую оснащенность» на примерах вычисления следующих интегралов:
.
.
.
.
Лекция 6.