2.1 Расчет среднестатистической и максимальной вероятности осевых нагрузок и

№ п/п	Q	№ п/п	Q	№ п/п	Q	№ п/п	Q	№ п/п	Q	№ п/п	Q	№ п/п	Q	№ п/п	Q
1	8	11	13	21	25	31	19	41	18	51	30	61	26	71	23
2	10	12	16	22	17	32	24	42	23	52	27	62	24	72	27
3	14	13	21	23	21	33	26	43	11	53	28	63	19	73	17
4	16	14	29	24	28	34	26	44	24	54	20	64	16	74	22
5	15	15	29	25	22	35	20	45	22	55	15	65	11	75	16
6	17	16	24	26	20	36	24	46	29	56	19	66	26	76	26
7	13	17	30	27	21	37	22	47	14	57	32	67	22	77	15
8	20	18	27	28	10	38	20	48	18	58	34	68	29	78	13
9	21	19	28	29	30	39	28	49	25	59	31	69	31	79	11
10	22	20	30	30	21	40	25	50	17	60	33	70	19	80	9

Статистическая совокупность измеренных осевых нагрузок от подвижного состава, тс/ось, представлена в таблице 10.

Таблица 10 - Результаты измерений осевых нагрузок от подвижного состава

Полученные значения случайной величины называются простой статистической совокупностью. Для установления закономерности исследуемой величины и ее характеристики простая статистическая совокупность подвергается обработке:

а) Все данные располагаются в порядке возрастания или убывания значений случайной величины. Получается так называемый вариационный ряд. Данные приведенного выше результата измерений, расположенные в порядке возрастания, представлены в таблице 11.

б) Данные вариационного ряда разбиваются на группы (разряды). Число разрядов зависит от объемов выборки. Практика показывает, что в большинстве случаев целесообразно выбирать число разрядов порядка 10-20.

Таблица 11 - Вариационный ряд осевых нагрузок, измеренных на участке

№	Q	№	Q	№	Q	№	Q	№	Q	№	Q	№	Q	№	Q
п/п		п/п		п/п		п/п		п/п		п/п		п/п		п/п
1	8	11	14	21	17	31	20	41	22	51	24	61	27	71	29
2	9	12	14	22	17	32	20	42	22	52	24	62	27	72	30
3	10	13	15	23	17	33	20	43	22	53	25	63	27	73	30
4	11	14	15	24	18	34	20	44	22	54	25	64	28	74	30
5	11	15	15	25	18	35	21	45	22	55	26	65	28	75	30
6	11	16	16	26	19	36	21	46	23	56	26	66	28	76	30
7	12	17	16	27	19	37	21	47	23	57	26	67	28	77	31
8	13	18	16	28	19	38	21	48	24	58	26	68	29	78	31
9	13	19	16	29	19	39	21	49	24	59	26	69	29	79	32
10	13	20	17	30	20	40	22	50	24	60	26	70	29	80	34

Величина интервала разряда зависит от размаха колебаний случайной величины и минимальных интервалов. Проще брать разряды одинаковыми по величине интервала. Крайние значения случайной величины при небольшом числе данных обычно объединяются в один - два разряда с увеличенным интервалом.

Величина интервала определяется по формуле:

где		-	число разрядов;
	,	-	максимальное и минимальное значение случайной величины в вариационном ряду

Для заданного вариационного ряда ,,8

По вариационному ряду в каждом разряде подсчитывается число наблюдений (частоты), затем определяются значения частостей:

Р_j =

где	Рj	-	частость, выражает статистическую вероятность, что случайная величина окажется в j-ом разряде;
		-	частота или число наблюдений в j -ом разряде.

г) Полученные значения разрядов частот и частостей оформляются в виде статистического ряда, который приведен в таблице 12.

Таблица 12 - Статистический ряд случайных величин

Номер разряда	Значение промежутков в разряде, хjн - хjв	Среднее значение промежутка,	Частота, fj		Частость, Pj		·Pj		· Pj
1	2	3	4		5		6		7
1	[8-10)	9,5	2		0,0250		0,2375		2,26
2	[10-12)_	11	4		0,0500		0,5500		6,05
3	[12-14)	13	4		0,0500		0,6500		8,45
4	[14-16)	15	5		0,0625		0,9375		14,06
5	[16-18)	17	8		0,1000		1,7000		28,90
6	[18-20)	19	6		0,0750		1,4250		27,08
7	[20-22)	21	10		0,1250		2,6250		55,13
8	[22-24)	23	8		0,1000		2,3000		52,90
9	[24-26)	25	7		0,0875		2,1875		54,69
10	[26-28)	27	9		0,1125		3,0375		82,01
11	[28-30)	29	8		0,1000		2,9000		84,10
12	[30-32)	31	7		0,0875		2,7125		84,09
13	[32-34]	33	2		0,0250		0,8250		27,23
				80		1,0		22,0875		526,93
ИТОГО:

Рисунок 1 – Гистограмма распределения по данным статистического ряда

д) Для наглядности статистическое распределение случайной величины изображается гистограммой, которая представляет собой графическое изображение статистического ряда. Соединив середины верхних сторон прямоугольников, получим многоугольник распределения случайной величины (рисунок 1).

Из гистограммы на рисунке 1 видно, что статистический ряд распределяется неравномерно.

е) По данным статистического ряда определяются числовые характеристики простой статистической совокупности:

• первый начальный момент или статистическое среднее:

.

где - среднее значение промежутка определяется по формуле:

• статистическая дисперсия:

D_x = α₂ – (m_x)²

где α₂- статистический второй начальный момент, который определяется

по формуле:

• статистическое среднее квадратическое отклонение:

S_x =

Расчет описанных выше характеристик произведен в табличной форме и представлен в таблице 13.

При подстановке полученных результатов:

т_х = 22,09 тc; α₂ = 526,93; D_x = 38,96 т/с²; S_х = 6,24 т/с

После выполняют выравнивание статистического ряда и проводят оценку согласования теоретического и статистического распределения.

Подбор закона распределения с достаточной точностью описывающего распределение случайной величины производят исходя из физической сущности исследуемого процесса. Дополнительными признаками могут служить внешний вид гистограммы или многоугольника распределения и значения числовых характеристик статистического распределения случайной величины.

Так, для нормального распределения все рассеивания (с точностью до 0,1%) укладываются на участке т_х + 3S_X.Для рассматриваемой статистической совокупности гистограмма или многоугольник распределения имеют вид, приведенный на рисунке 1. По их внешнему виду можно предположить, что осевые нагрузки можно описать нормальным законом распределения.

Для проверки гипотезы о законе распределения измеряемой случайной величины производят расчет координат теоретической кривой распределения и проверку ее согласия со статистическим распределением.

Координаты теоретической кривой распределения рассчитываются для граничных значений разрядов статистического ряда по его числовым характеристикам путем нахождения вероятности Рпопадания измеряемой величины в определенный интервал.

Для нормального закона распределения измеряемой случайной величины Хвероятность попадания ее вj-ый интервал определяется по формуле:

= Ф(- Ф(

где ;- соответственно нижняя и верхняя границы значений случайной величиныXвj-ом разряде статистического ряда;

Ф(- стандартная функция Лапласа, значения которой затабулированы в зависимости от(U_j)

(U_j )=

где j- номер разряда статистического ряда.

Частоты теоретического распределения случайной величины определяются как:

h_j =

где - частость распределения вj-том разряде;

- общее число измерений, принятых к исследованию.

Все расчеты сведены в таблицу 13.

Таблица 13 - Расчет координат теоретического ряда распределения осевых нагрузок

Номер разряда	Значение промежутков в разряде, -		(Uj ) =	Ф(			Pj		hj		fj
1	2	3	4	5	6		7		8		9		10
		8	-2,3	-0,4893	-		-		-		-		-
1	[8-10)	10	-1,9	-0,4713	0,0180		0,0250		1		2		1
2	[10-12)_	12	-1,6	-0,4452	0,0261		0,0500		2		4		2
3	[12-14)	14	-1,3	-0,4032	0,0420		0,0500		3		4		0,33
4	[14-16)	16	-1,0	-0,3413	0,0619		0,0625		5		5		0
5	[16-18)	18	-0,7	-0,2580	0,0833		0,1000		7		8		0,14
6	[18-20)	20	-0,3	-0,1179	0,1401		0,0750		11		6		2,27
7	[20-22)	22	0	0,0000	0,1179		0,1250		9		10		0,11
8	[22-24)	24	0,3	0,1179	0,1179		0,1000		9		8		0,11
9	[24-26)	26	0,6	0,2257	0,1078		0,0875		9		7		0,44
10	[26-28)	28	0,9	0,3159	0,0902		0,1125		7		9		0,57
11	[28-30)	30	1,3	0,4032	0,0873		0,1000		7		8		0,14
12	[30-32)	32	1,6	0,4452	0,0420		0,0875		3		7		5,33
13	[32-34]	34	1,9	0,4713	0,0261		0,0250		2		2		0
ИТОГО:						0,9606		1,0		77		80		12,44

Примечание: Pj – частость теоретического ряда.

На рисунке 2 представлена гистограмма или многоугольник распределения по данным теоретического ряда таблицы 13.

Гистограмма распределения имеет форму симметричного «колокола» (частость постепенно увеличивается до середины и потом плавно уменьшается), что свидетельствует о правильности ряда для нормального закона распределения.

Вопрос согласования теоретического и статистического распределения решается с помощью «критериев согласия».

Рисунок 2 – Гистограмма распределения по данным теоретического ряда

Наиболее распространенным в практике измерений является критерий Пирсона. При проверке согласованности теоретического и статистического распределения по критерию Пирсона выполняются следующие операции:

а) Подсчитывается величина χ²по формуле:

χ²=

где f_j и h_j- частоты соответственно статистического и теоретического распределения вj-ом разряде;

j- номер разряда статистического ряда(j=1,2,.. ..k);

б) Определяется число степеней свободы R:

R = К - S

где К - число разрядов статистического ряда;

S- число наложенных связей или количество числовых характеристик статистического распределения, используемых при расчете координат теоретической кривой распределения.

Для нормального распределения:

S = 3(P_j = f_j ; m_х = m_х; S_x = S_x)

в) Для значения χ²иRпо таблице распределения Пирсона (приложения III) определяется вероятностьРχ²так, что отклонения между теоретическим и статистическим распределением вызваны случайным колебанием измеряемой величины в выборке.

Для данного примера χ²= 12,44R=13-3=10. Из таблицы приложения III определяем

Рχ² = 0,24.

Правило Романовского значительно облегчает применение согласия Пирсона для оценки расхождения между теоретическим и статистическим распределением. Согласно этому правилу, если

то согласование теоретического и статистического распределений можно считать хорошим.

В нашем случае имеем:

Это свидетельствует о хорошей сходимости теоретического и статического распределения.

Максимальная вероятная осевая нагрузка , определяется поформуле:

=m_х + 2,5S_X

=22,09 +2,5·6,24=37,69тс

Далее определяются для прямых и кривых участков отказы рельсов в зависимости от пропущенного тоннажа (принимаем шаг наработки 50 млн.т брутто) до величины допускаемого количества отказов рельсов [h].

Результаты расчетов по определению отказов рельсов сводятся в таблицу, и строится график зависимости отказов рельсов от пропущенного тоннажа.

Таблица 14 - Отказы рельсов в зависимости от пропущенного тоннажа

Наработка тоннажа, Т, млн.т брутто	тс	тс	Коэффициенты аппроксимации				Количество отказов рельсов,h, шт/км
			Ар50 = 4 · 10-5β-1(1 + 27 · 104R-2)	m	n
50	37,69	16,0	4,136· 10-5	2	1,5	0,74767
100						1,49534
150						2,71701
200						3,86663

Наработка тоннажа определяется по следующей формуле:

Ресурс пути в годах между капитальным ремонтом пути:

Количество одиночных отказов рельсов за последний год перед их сплошной заменой (капитальным ремонтом пути):

^1,5(1-(1- )^1,5) = 3,0311 шт/км