Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный аэрокосмический

университет имени академика С.П. Королева»

Кафедра геоинформатики

Пояснительная записка

к курсовому проекту по дисциплине

"Компьютерная алгебра"

Тема № 6

Cтудент: Валеев Д. Р. группа 657

Руководитель проекта: Чичева М. А.

Оценка: ____________

Дата: ____________

Самара 2010

ЗАДАНИЕ

Реализация и исследование быстрого алгоритма двумерного вещественного ДПФ с расщеплением основания с представлением данных в алгебре кватернионов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЗАДАНИЕ 2

ОГЛАВЛЕНИЕ 3

1 Постановка задачи 4

2 Теоретический материал 5

Рис. 1. Заполнение недостающих областей на основании свойств симметрии 7

3 Описание разработанного алгоритма и программы 8

Рис. 2. Консоль приложения после запуска 8

Рис. 3. Пример работы программы 9

4 Тестирование программы 10

5 Исследование алгоритма 11

Таблица 1. Сравнение времени выполнения БПФ и ДПФ по формуле 11

Рис. 4. Сравнительные графики времени выполнения БПФ и ДПФ по формуле 11

Таблица 2. Сравнение времени выполнения БПФ с учетом и без учета 12

вещественности входного сигнала 12

Рис. 5. Сравнительные графики времени выполнения БПФ с учетом и 12

без учета вещественности входного сигнала 12

Приложение А. Текст программы 13

1 Постановка задачи

Нахождение спектра квадратной матрицы размера с помощью быстрого алгоритма двумерного вещественного ДПФ с расщеплением основания с представлением данных в алгебре кватернионов. Тестирование полученной реализации алгоритма, ее исследование и сравнение с «обычным» алгоритмом двумерного ДПФ.

2 Теоретический материал

2.1 Двумерное преобразование Фурье

Пусть - входной массив размераN×N. Тогда его комплексный спектр Фурье

,, (1.1)

где - комплексный корень из единицы степениN.

Под дискретным преобразованием Фурье со специальным представлением данных в рамках курсового проекта будем понимать преобразование вида

. (1.2)

Основная идея такого преобразования заключается в погружении входного сигнала и корней в четырехмерную алгебру кватернионов. При этом корнилежат в разных экземплярах поля комплексных чисел, вложенных в, у них разные мнимые единицы -iиj.

Отметим, что умножения на степени ив соотношении (1.2) записаны слева и справа от входного сигнала. Это сделано для унификации записи. При использовании алгебры кватернионовэто принципиально, так как умножение в ней некоммутативно.

Поскольку элемент алгебры (кватернион) определяется набором четырех вещественных чисел, то комплексный спектр (1) может быть получен из спектра (2) в алгебреследующим образом:

(1.3)

где – вектор компонент спектра,

. (1.4)

Таким образом, мультипликативная сложность вычисления совпадает со сложностью вычисления спектра в алгебре, т.к. умножения на матрицыL,Iне требуют выполнения нетривиальных операций вещественного умножения.

Рассмотрим алгоритм вычисления двумерного ДПФ с расщеплением основания. Это – схема декомпозиции двумерного спектра (1.2), в которой ДПФ объема сводится к одной ДПФэлементов входной последовательности с четными индексами и двенадцати ДПФ объемомс элементами, имеющими хотя бы один нечетный индекс. Пусть

,

тогда

(1.5)

(1.6)

где размерность ДПФ на текущем шаге.