Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Самарский государственный аэрокосмический

университет имени академика С.П. Королева»

Кафедра геоинформатики

Пояснительная записка

к курсовому проекту по дисциплине

"Компьютерная алгебра"

Вариант № 11

Cтудент: Терентьева Д.А. группа 657

Руководитель проекта: Чичева М. А.

Самара 2010

Задание

Реализация и исследование быстрого алгоритма двумерного вещественного ДПФ по основанию 4 представлением данных в гиперкомплексной алгебре.

Содержание

Cтудент: Терентьева Д.А. группа 657 1

Задание 2

Содержание 3

1 Постановка задачи 4

2 Теоретический материал 5

2.1 Двумерное преобразование Фурье 5

2.1.1 Определение двумерного ДПФ в алгебре комплексных чисел и в четырехмерных алгебрах 5

2.1.2 Алгоритм двумерного ДПФ по основанию 2 6

2.1.3 Алгоритм двумерного ДПФ по основанию 4 8

2.2 Алгебра гиперкомплексных чисел 8

2.3 Прямая сумма комплексных алгебр 11

3 Описание разработанного алгоритма 12

3.1 Описание работы программы 12

4 Исследование алгоритма 14

Приложение А. Текст программы 16

Приложение Б. Принцип работы программы 22

1 Постановка задачи

Требуется разработать и реализовать быстрый алгоритм двумерного преобразования Фурье в гиперкомплексной алгебре по основанию 4.

_{На входе –} квадратная матрица размера, гдегде .

Тестирование полученной реализации алгоритма, ее исследование и сравнение с алгоритмом двумерного ДПФ.

2 Теоретический материал

2.1 Двумерное преобразование Фурье

2.1.1 Определение двумерного дпф в алгебре комплексных чисел и в четырехмерных алгебрах

Пусть - входной массив размераN×N, тогда его комплексный спектр Фурье

,, (2.1)

где - комплексный корень из единицы степениN.

Под дискретным преобразованием Фурье со специальным представлением данных в рамках курсового проекта будем понимать преобразование вида

. (2.2)

Основная идея такого преобразования заключается в погружении входного сигнала и корней в четырехмерную алгебру(в рамках курсового проекта это одна из алгебраических структур, описанных в разделе 1). При этом корнилежат в разных экземплярах поля комплексных чисел, вложенных в, у них разные мнимые единицы -iиj.

Отметим, что умножения на степени ив соотношении (2.2) записаны слева и справа от входного сигнала. Это сделано для унификации записи. При использовании алгебры кватернионовэто принципиально, так как умножение в ней некоммутативно. При использовании гиперкомплексной алгебрыпорядок сомножителей значения не имеет.

Поскольку элемент алгебры (кватернионили гиперкомплексное число) определяется набором четырех вещественных чисел, то комплексный спектр (2.1) может быть получен из спектра (2.2) в алгебреследующим образом:

где - вектор компонент спектра,

.

Таким образом, мультипликативная сложность вычисления совпадает со сложностью вычисления спектра в алгебре, т.к. умножения на матрицыL,Iне требуют выполнения нетривиальных операций вещественного умножения.

Далее излагаются схемы декомпозиции двумерного дискретного преобразования Фурье (2.2) и способы его вычисления.

2.1.2 Алгоритм двумерного дпф по основанию 2

Пусть . Представим (2.2) в виде четырех сумм, разделяя входную последовательность по четным и нечетным значениям каждого индекса:

(2.3)

где

Вычисление спектра для остальных значений пар производится без дополнительных умножений и может быть записано в матричной форме

или в следующем виде

, (2.4).