2.1.3 Алгоритм двумерного дпф по основанию 4

Разобьем теперь входную последовательность на 16 под­по­сле­до­ва­тель­ностей и запишем (2.2) в виде

(2.5)

где

, (2.6)

При этом значения спектра для остальных значений аргументов вычисляются без дополнительных умножений, а именно:

, (2.7).

Умножения на степени базовых элементов iиjтривиальны, они сводятся к перестановкам элементов кода и/или смене знака компонент.

2.2 Алгебра гиперкомплексных чисел

Коммутативной гиперкомплексной алгеброй будем называть четырехмерную ассоциативную алгебру над

(2.2.11)

с определяющими соотношениями для умножений базисных элементов :

(2.2.12)

Операция сложения в данной алгебре осуществляется покомпонентно. Соотношение (1.12) для умножения базисных элементов индуцирует правило умножения произвольных элементов алгебры 

(2.2.13)

Отметим еще два полезных свойства алгебры :

- поле комплексных чисел канонически вкладывается в:

- справедливы соотношения

, (2.2.14),.

Непосредственное умножение элементов алгебры по формуле (2.2.13) требует 16 вещественных умножений и 12 вещественных сложений. Как обычно, будем считать, что:

- при оценке вычислительной сложности один из сомножителей предполагается постоянным и, следовательно, все арифметические операции над его компонентами могут быть реализованы заранее;

- умножения на степени числа 2 являются более простыми операциями, чем сложения и умножения, и не учитываются при анализе вычислительной сложности алгоритмов ДПФ.

Пусть - элемент алгебрыобщего вида;- комплексное число, являющееся константой в контексте рассматриваемых алгоритмов. В соответствии с представлением (2.2.14) вычисление произведенияэквивалентно выполнению двух комплексных умножений. При использовании схемы "три умножения, три сложения" искомое произведение принимает вид

(2.2.15)

и вычисляется посредством шести вещественных умножений и шести вещественных сложений.

Одновременное умножение на два комплексных корня в этой алгебре лучше выполнять по очереди.

Непосредственной проверкой легко убедиться также в справедливости следующего утверждения.

Отображения

(2.2.16)

сохраняют сумму и произведение элементов алгебры ,действуют тождественно на(то есть являютсяавтоморфизмами  над ).

2.3 Прямая сумма комплексных алгебр

Известно, что коммутативно-ассоциативная гиперкомплексная алгебра (2.2.11)-(2.2.12) изоморфна прямой сумме комплексных алгебр:

.

Для перехода от стандартного представления гиперкомплексного числа

(2.3.1)

к его представлению в прямой сумме комплексных алгебр, выполним замену переменных:

,,,. (2.3.2)

В этом случае произвольный элемент алгебры примет вид

Таблица умножения новых базисных элементов имеет вид, показанный ниже.

Таблица 1 Правила умножения новых базисных элементов

Базисные элементы
		0		0
	0		0
		0		0
	0		0

В таком представлении произведение двух произвольных элементов алгебры

разбивается на два независимых произведения, подобных произведениям комплексных чисел

,

и требует 6 вещественных умножений и 6 вещественных сложений.

Все свойства гиперкомплексной алгебры в таком представлении сохраняются.