Desktop / КА отчет

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА

Кафедра геоинформатики

Пояснительная записка

к курсовому проекту по дисциплине «Компьютерная алгебра»

Тема № 5

Студент А.Ю.Медовникова,

группа 657

Проверил

Самара 2011

Задание

Реализация и исследование быстрого алгоритма двумерного вещественного ДПФ по основанию 4 с представлением данных в алгебре кватернионов.

2

Оглавление

3

1 Постановка задачи

Пусть имеется конечный двумерный вещественный сигнал , вчастности изображение размером NxN. Часто для анализа изображения требуется расчёт его Фурье спектра. Прямое преобразование Фурье занимает очень много времени, особенно учитывая, что изображения чаще всего имеют размеры больше 256*256. Для сигналов таких размеров используют быстрое преобразование Фурье. В данной работе рассматривается один из способов расчета быстрого алгоритма преобразования Фурье. В результате будет представлено исследование эффективности такого метода.

4

2 Теоретический материал

2.1 Двумерное преобразование Фурье

В общем случае мы имеем - конечный двумерный вещественный сигнал размером NxM. Его комплексный спектр Фурье имеет вид:

где и

Для сигналов небольшой длины достаточно реализовать формулу (2.1). Однако в большинстве случаев требуется реализация быстрого алгоритма, чтобы получить возможность оперативной работы с большими сигналами. Однако для этого входной сигнал должен удовлетворять двум требованиям:

, т.е. входной сигнал квадратный

, в общем случае, а при нашем разложении по основании 4 должно выполняться

Если же входной сигнал не удовлетворяет этим свойствам, то его можно дополнить нулями до необходимых размеров. Далее будем рассматривать сигнал, удовлетворяющим этим условиям. В этом случае сигнал принимает вид:

– комплексный корень N-ой степени из единицы

Под дискретным преобразованием Фурье со специальным представлением данных в рамках курсового проекта будем понимать преобразование вида:

где и лежат в разных экземплярах поля комплексных чисел.

Основная идея такого преобразования заключается в погружении входного вещественного сигнала в четырехмерную алгебру.

В данном варианте работы рассматривается двумерного ДПФ по основанию 4. Для этого разобьем входную последовательность на 16 подпоследовательностей и запишем (2.3) в виде:

5

где

При этом значения спектра для остальных значений аргументов вычисляются без дополнительных умножений, а именно:

Умножение на степени базовых элементов i и j тривиальны, они сводятся к перестановкам элементов кода и/или смене знака компонент.

6

2.1 Алгебра кватернионов

Под алгеброй гамильтоновых кватернионов понимается четырехмерная ассоциативная алгебра H следующего вида:

(2.8)

с определяющими соотношениями для умножения базисных элементов :

(2.9)

Операция сложения кватернионов осуществляется покомпонентно, а умножение с учетом правил (2.9) и с приведением подобных членов.

Следующие отображения являются автоморфизмами H над R:

(2.10)

причем:

(2.11)

Система уравнений (1.5), рассматриваемая относительно a, b, c, d, разрешима при любых значениях левых частей и требует для решения не более 4 вещественных умножений. Считая умножения на степени двойки более элементарной операцией по сравнению с вещественным умножением, мы не будем учитывать их при анализе вычислительной сложности рассматриваемого алгоритма. Умножение комплексных чисел может быть реализовано по схеме «три умножения, три сложения», тогда, в соответствии с представлением

(2.12)

умножение двух кватернионов общего вида может быть реализовано с помощью девяти вещественных умножений. Пусть далее – i-кватернион и - j- кватернион. Тогда для вычисления произведений sq и qt необходимо и достаточно по шесть вещественных умножений, а для одновременного вычисления произведения sqt – девять вещественных умножений:

(2.13)

При этом считаем, что произведения и суммы констант выполнены заранее.

7

2.3 Учет вещественности

Как уже отмечалось ранее, входной сигнал представляет собой вещественную последовательность, а основным свойством спектра вещественного сигнала является его симметрия. Так спектр вещественного сигнала удовлетворяет следующим трем свойствам симметрии:

(2.14)

Такое свойство позволяет на каждом шаге алгоритма производить вычисления по

8

3 Описание разработанного алгоритма и программы

Программа была разработана на языке Java с использованием стандартных библиотек. Результирующий продукт полностью кроссплатформенный и может быть запущен на любой операционной системе с установленной виртуальной Java-машиной(JVM).

При запуске приложения создается графический интерфейс, позволяющий пользователю удобно использовать функции продукта.

Из заданного заранее в программе списка изображений пользователь может выбрать одно. При этом изображение трансформируется из трехкомпонентного в монохромное. (рис 3.1)

Рис. 3.1 Список загруженных изображений

Далее пользователь может выбрать необходимый ему алгоритм: DFT(простое дискретное преобразование по формуле (2.3)) или FFT(быстрое преобразование Фурье в алгебре кватернионов).

После нажатия кнопки соответствующего алгоритма запускается процесс обработки входного изображения и в окне появляется прогресс-бар, информирующего пользователя, что идет процесс обработки.

Если при выполнении обработки пользователь нажмет на какую либо кнопку, то появится сообщение о том, что невозможно запустить новый процесс пока не завершен предыдущий. (рис 3.2)

9

Рис. 3.2 Сообщение об ошибке

После завершения обработки появляется графическое отображение результирующего спектра (выводится модуль полученного гиперкомплексного числа, приведенный к диапазону яркости [0,255]). А так же записывается время выполнения алгоритма в секундах. (рис. 3.3)

Рис. 3.3 Окно с результатом обработки

После того как пользователь поочередно выполнит FFT и DFT, можно нажать на кнопку «Разница» и тогда в консоль выведется разница между спектрами полученными двумя способами.

10