
- •Пояснительная записка
- •1 Постановка задачи
- •2 Теоретический материал
- •2.1 Двумерное преобразование Фурье
- •2.1.1 Определение двумерного дпф в алгебре комплексных чисел и в четырехмерных алгебрах
- •2.1.2 Алгоритм двумерного дпф по основанию 2
- •2.1.3 Алгоритм двумерного дпф по основанию 4
- •2.2 Алгебра гиперкомплексных чисел
- •2.3 Прямая сумма комплексных алгебр
- •3 Описание разработанного алгоритма
- •3.1 Описание работы программы
- •4 Исследование алгоритма
- •Приложение а. Текст программы
- •Приложение б. Принцип работы программы
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Самарский государственный аэрокосмический
университет имени академика С.П. Королева»
Кафедра геоинформатики
Пояснительная записка
к курсовому проекту по дисциплине
"Компьютерная алгебра"
Вариант № 11
Cтудент: Терентьева Д.А. группа 657
Руководитель проекта: Чичева М. А.
Самара 2010
Задание
Реализация и исследование быстрого алгоритма двумерного вещественного ДПФ по основанию 4 представлением данных в гиперкомплексной алгебре.
Содержание
Cтудент: Терентьева Д.А. группа 657 1
Задание 2
Содержание 3
1 Постановка задачи 4
2 Теоретический материал 5
2.1 Двумерное преобразование Фурье 5
2.1.1 Определение двумерного ДПФ в алгебре комплексных чисел и в четырехмерных алгебрах 5
2.1.2 Алгоритм двумерного ДПФ по основанию 2 6
2.1.3 Алгоритм двумерного ДПФ по основанию 4 8
2.2 Алгебра гиперкомплексных чисел 8
2.3 Прямая сумма комплексных алгебр 11
3 Описание разработанного алгоритма 12
3.1 Описание работы программы 12
4 Исследование алгоритма 14
Приложение А. Текст программы 16
Приложение Б. Принцип работы программы 22
1 Постановка задачи
Требуется разработать и реализовать быстрый алгоритм двумерного преобразования Фурье в гиперкомплексной алгебре по основанию 4.
На входе – квадратная матрица
размера,
гдегде
.
Тестирование полученной реализации алгоритма, ее исследование и сравнение с алгоритмом двумерного ДПФ.
2 Теоретический материал
2.1 Двумерное преобразование Фурье
2.1.1 Определение двумерного дпф в алгебре комплексных чисел и в четырехмерных алгебрах
Пусть
- входной массив размераN×N,
тогда его комплексный спектр Фурье
,
, (2.1)
где
- комплексный корень из единицы степениN.
Под дискретным преобразованием Фурье со специальным представлением данных в рамках курсового проекта будем понимать преобразование вида
. (2.2)
Основная идея такого преобразования
заключается в погружении входного
сигнала и корней
в четырехмерную алгебру
(в рамках курсового проекта это одна из
алгебраических структур, описанных в
разделе 1). При этом корни
лежат в разных экземплярах поля
комплексных чисел, вложенных в,
у них разные мнимые единицы -iиj.
Отметим, что умножения на степени
и
в соотношении (2.2) записаны слева и справа
от входного сигнала. Это сделано для
унификации записи. При использовании
алгебры кватернионовэто принципиально, так как умножение в
ней некоммутативно. При использовании
гиперкомплексной алгебрыпорядок сомножителей значения не имеет.
Поскольку элемент алгебры (кватернионили гиперкомплексное число
)
определяется набором четырех вещественных
чисел
,
то комплексный спектр (2.1) может быть
получен из спектра (2.2) в алгебреследующим
образом:
где
- вектор компонент спектра,
.
Таким образом, мультипликативная
сложность вычисления
совпадает со сложностью вычисления
спектра в алгебре, т.к. умножения
на матрицыL,Iне требуют выполнения
нетривиальных операций вещественного
умножения.
Далее излагаются схемы декомпозиции двумерного дискретного преобразования Фурье (2.2) и способы его вычисления.
2.1.2 Алгоритм двумерного дпф по основанию 2
Пусть
.
Представим (2.2) в виде четырех сумм,
разделяя входную последовательность
по четным и нечетным значениям каждого
индекса
:
(2.3)
где
Вычисление спектра для остальных
значений пар
производится без дополнительных
умножений и может быть записано в
матричной форме
или в следующем виде
, (2.4)
.