3.2. Методы исследования движения жидкости и газа

Изучение движения жидкости и газа можно вести двумя методами: методом Эйлера и методом Лагранжа. В обоих методах жидкость рассматривается как непрерывная среда, сплошь занимающая рассматриваемое пространство. В качестве мельчайшего элемента жидкости принимается «частица» бесконечно малых размеров, но не отождествляемая с молекулой или атомом. Вследствие этого рассматриваемая схема неприменима к изучению молекулярных движений.

Метод Эйлера применяется для плотных жидкостей. Объектом изучения является, строго говоря, не сама жидкость, а неподвижное пространство, заполненное движущейся жидкостью; изучается изменение различных параметров, характеризующих движение в фиксированных точках пространства с течением времени, а также изменение этих параметров при переходе к другим точкам пространства. Таким образом, параметры, характеризующие движение, рассматриваются как функции координат точки и времени х, у, z, t, называемых переменными Эйлера. Например, рассматривается скорость в точке пространства, занятого движущейся жидкостью. Обозначим проекции скорости на оси координат, и для неустановившегося движения будем иметь:

cx =f1(x, y, z, t); cy =f2(x, y, z, t); cz =f3(x, y, z, t),

где х, у, z, t – переменные Эйлера.

Если движение жидкости непрерывное, то для нахождения траектории жидкой частицы следует иметь в виду:

cx = dxdt , cy = dydt , cz = dzdt ,

где dx, dy, dz – проекции элементарного перемещения на соответствующие оси координат.

39

Проинтегрировав эти уравнения, получим уравнения траектории x = ϕ1(a, b, c, t) и т.д., где а, b, с – начальные координаты частицы.

При неустановившемся движения все поле скоростей изменяется во времени.

Таким образом, в методе Эйлера объектами изучения являются поля, характеризующие движение (поле скоростей, поле ускорений, поле плотностей и др.).

По методу Лагранжа объектом изучения является сама движущаяся жидкость, т.е. отдельные ее частицы, рассматриваемые как материальные точки, которые сплошь заполняют некоторый движущийся объем, и изучается движение отдельных частиц жидкости вдоль их траекторий. Пусть в начальный момент t = 0 координаты некоторой частицы жидкости a, b, c. У других частиц начальные координаты другие. Затем каждая частица движется по своей траектории. Текущие координаты х, у, z некоторой частицы являются функциями четырех переменных: времени t и начальных координат a, b, c. Эти переменные называются переменными Лагранжа:

x = f1(a, b, c, t); y = f2(a, b, c, t); z = f3(a, b, c, t).

Движение жидкости вполне определено, если эта система уравнений известна. Задаваясь начальными координатами a, b, c, получим текущие координаты для выбранной частицы. Скорости частицы определяются как первые производные координаты по времени от координат х, у, z. Проекции скорости находятся из условия:

Ускорения определяются как вторые производные по времени. Направления векторов скорости и ускорения находятся при помощи направляющих косинусов. Траектория любой частицы определяется непосредственно из системы уравнений путем вычисления

40

координат х, у, z выбранной частицы для ряда моментов времени. Итак, по методу Лагранжа берется частица жидкости и исследуется движение этой частицы за промежуток времени t0, t.

Метод Лагранжа применяется в динамике разряженных сред, например в космическом пространстве, где расстояние между молекулами газа соизмеримо с размерами летательных аппаратов и необходимо изучать движение каждой частицы в отдельности.

В МЖГ плотных сред в большинстве случаев применяется более простой метод Эйлера.

3.3. Уравнение неразрывности потока

Движение жидкости, при котором внутри потока не образуется пустот, т.е. нет разрывов струй, называется сплошным, или неразрывным. Найдем аналитическое выражение условия неразрывности течения жидкости, полагая плотность ρ непостоянной. Плот-

ность тока mx F = ρ cx , ρ = f (x, y, z,t ); cx = ϕ (x, y, z,t ).

Пусть гранями бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 3.1) ограничивается некоторое неподвижное относительно координатных осей пространство, через которое протекает жидкость.

Рис. 3.1. Бесконечно малый объем жидкости

41

За время dt через грань АВCD внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости dm′x = ρcxdydzdt , а вытекает через грань

входе (в плоскости грани ABCD) в общем случае сжимаемой жидкости не равны плотности ρ′ и скорости c′x на выходе (в плоскости грани А′В′C′D′). При этом изменение ρ и cx обуславливается только тем, что при переходе от одной грани к другой для сходственных точек этих граней меняется лишь координата х независимо от времени, так как втекание происходит одновременно. Поэтому:

Если за время dt масса жидкости внутри параллелепипеда увеличилась за счет притока на величину dm′x, а уменьшилась за счет вытекания на величину dm′′x, то изменение массы в этом движении вдоль координатной оси Ox равняется:

Аналогично найдем, что изменение массы в итоге движения вдоль осей Oy и Oz равняется:

42

Общее изменение массы за время dt равно:

С другой стороны, изменение массы жидкости в объеме (dxdydz) параллелепипеда можно рассматривать как изменение массы в зависимости от времени. Ввиду постоянства координат х, у, z (так как параллелепипед неподвижен) изменение массы в нем обусловлено изменением плотности во времени, так как в этом

случае ρ = f (t ). В начальный момент времени t масса внутри па-

раллелепипеда равна dM′ = ρdxdydz. По прошествии промежутка времени dt средняя для объема параллелепипеда плотность ρ изменится и будет равна ρ′

ρ ′ = ρ + ∂ρ dt . ∂t

В момент времени t + dt масса жидкости в объеме параллелепипеда равняется

Выражения dm и dM в условиях сплошности течения представляют одно и то же изменение массы в объеме параллелепипеда, поэтому dm = dM или

43

Сократив это уравнение на величину объема параллелепипеда (dx, dy, dz) (это сокращение указывает на независимость результата от объема), получим

Это и есть уравнение неразрывности. Оно одинаково справедливо как для капельной несжимаемой (ρ = const), так и газообразной сжимаемой (ρ ≠ const) жидкости. В частном случае установившегося движения плотность (как и все остальные параметры движения) от времени не зависит и, следовательно, ∂ρ ∂t = 0 . Поэтому уравнение неразрывности в этом случае имеет вид

Для несжимаемой жидкости (ρ = const), как при установившемся, так и при неустановившемся движении, уравнение неразрывности имеет вид:

∂ (cx ) + ∂ (cy ) + ∂ (cz ) = 0 . ∂x ∂y ∂z

Уравнение неразрывности для установившегося двухмерного (плоского) движения и одномерного движения имеет, соответственно, вид:

Для частного случая одномерного установившегося движения несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности (3.1) можно получить формулу расхода жидкости для элементарной струйки:

44