того, насколько полно сформулирована решаемая задача, понята ее физическая сущность. Прежде всего, надо выбрать основные факторы, которые определяют изучаемое явление, и выяснить, какими эффектами можно пренебречь. В сложном случае можно анализировать последовательно несколько правдоподобных предположений, а затем с помощью теоретических выкладок, расчетов или опытов выбрать правильное. Если известны дифференциальные уравнения и краевые условия, которые математически описывают поставленную физическую задачу, то отыскание безразмерных критериев производится довольно просто.

6.2. Физическое подобие. Критерии подобия

Вопрос о подобии возникает в связи с необходимостью экспериментального определения важнейших характеристик течения потока и силовых характеристик его взаимодействия с твердыми поверхностями или телами. Если отбросить тепловые, электрические, электромагнитные и другие факторы, отличные от чисто механических, то систему тело–жидкость можно рассматривать как механическую, которая является частным случаем более общих физических систем. Физические явления подобны, если по характеристикам одного можно определить характеристику другого простым пересчетом масштабов по коэффициентам подобия.

Необходимым и достаточным условием подобия явлений служит равенство численных значений безразмерных комплексов, которые называют критериями подобия. Они обычно носят имена ученых, которые ввели их в практический обиход. Из теории подобия следует, что возможно моделирование физических явлений. Моделированием называют замену исследования явлений на натурном объекте экспериментальным изучением этого явления на модели. Для обеспечения подобия моделируемых течений или явлений необходимо обеспечить равенство критериев подобия. Совокупность критериев, необходимых для соблюдения подобия явлений, определяется конкретным типом решаемой задачи.

96

Различают два способа выбора критериев подобия: с помощью теории размерностей и π-теоремы и метод, основанный на отношении сил. Если моделируемое явление сложное, не имеет достаточного математического описания, например течение с развитой кавитацией, то критерии подобия можно получить только при использовании теории размерностей и π-теоремы. В настоящее время этот метод является наиболее распространенным. В случае, когда течение описывается замкнутой системой дифференциальных уравнений, критерии подобия легко находятся, так как они представляют собой безразмерные коэффициенты уравнений, записанных в безразмерном виде. В XIX столетии многие исследователи, в том числе Релей, решали задачи путем прямого использования идеи подобия и отношения сил. Этот метод включает геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.

Два тела геометрически подобны, если сходственные отрезки тел пропорциональны и углы между сходственными отрезками равны между собой. Потоки кинематически подобны, если скорости в сходственных точках пропорциональны и углы вектора скорости в сходственных точках одинаковы. Для динамического подобия необходима пропорциональность сил, действующих на сходственные элементы, и равенство углов соответствующих векторов сил. Таким образом, когда речь идет о физическом (механическом) подобии, имеется в виду геометрическое подобие натурного объекта и модели, а также подобие силовых и скоростных полей.

Для обеспечения кинематического и динамического подобия нужно, прежде всего, обратиться к законам физики. Запишем второй закон Ньютона для двух систем:

здесь Fi – векторы сил, приложенные к материальным точкам сравниваемых систем. В кинематически и динамически подобных системах векторы ускорений центров тяжести должны быть одинако-

97

вы по направлению, а также должно быть равно число сил, приложенных к каждой системе, и каждая из сил должна быть одинаково направлена. Из сказанного следует:

Опуская векторные обозначения, перепишем правую часть в ином виде

Поэтому вместо (6.11) запишем

F (1) = F(2) .

ρ1c12S1 ρ2c22S2

Формула (6.11) представляет собой закон подобия Ньютона, утверждающий что в динамически подобных системах должны быть равны безразмерные коэффициенты сил, которые образуются делением соответствующей силы на произведение соответствующих значений плотности, площади и квадрата скорости. Силы, действующие в жидкости, имеют различную физическую природу. Закон подобия Ньютона позволяет установить безразмерные комплексы, отражающие действие сил той или иной природы. Поскольку произведение ρс2S характеризует уровень сил инерционной природы, то критерием подобия, по существу, выражают отношение сил той или иной природы к силам инерции.

Рассмотрим наиболее употребительные из критериев подобия. Пусть силы генерируются вязкостью. Согласно закону вязкого трения Ньютона

τ = μ dndc

Далее F ~ Sτ = L2τ Lc ~ L μ ñ .

98

Таким образом, подобие течений по соотношению инерционных и вязких сил определяется безразмерным комплексом,

Re = ρcL = cL , который называется числом Рейнольдса.

μ ν

Рассмотрим теперь условия подобия для течений под действием сил тяжести. Силы тяжести имеют объемный характер действия. Следовательно, условие подобия

В нестационарных течениях сила, обусловленная нестационарностью, пропорциональна ρL3c/t. Отсюда следует, что в подобных течениях

Струхаля.

Существуют и другие безразмерные комплексы параметров, отражающие своеобразие той или иной задачи. Зачастую используются также комбинации указанных выше критериев. В реальных условиях не все силовые факторы проявляют себя одинаково. Более того, в определенных задачах ряд критериев автоматически отпадает.

В потоках жидкости обычно действуют разные силы: силы давления, вязкости (трения), тяжести и др. Соблюдение их пропорциональности означает полное динамическое подобие. Осуществление на практике полного подобия оказывается не всегда возможным. В случае установившегося течения выпадает из рассмотрения число Струхаля Sh. В случае для обеспечения подобия для установившегося течения несжимаемой жидкости в каналах необходимо обеспечить равенство на модели и натуре только двух критериев – Re и Fr. Однако одновременное сохранение этих двух критериев при использовании для моделирования натурной среды оказывается невозможным, так как при уменьшении размеров Re падает, а Fr растет. Для поддержания постоянства числа Re характерная скорость должна увеличиваться, а для сохранения значения Fr необходимо уменьшать скорость. Сохранить постоянство указанных критериев можно, если при моделировании использовать различные

100

среды, что не всегда возможно на практике. По этой причине в задачах, где влияние массовых сил несущественно, при моделировании сохраняется постоянство только числа Re. Подобное моделирование и подобие потоков является частичным. Отбрасывание того или иного критерия возможно только после детального анализа его роли в исследуемом процессе. Частичное моделирование является вынужденной мерой и в некоторых случаях может приводить

кзаметным ошибкам, которые не всегда удается предвидеть.

Втеоретических исследованиях и расчетах сложных процессов соображения о физическом подобии играют большую роль. На первом этапе изучения задачи эти соображения помогают лучше разобраться в существе явлений и выбрать основные безразмерные аргументы, от которых зависит изучаемое явление. Далее наиболее простым образом обосновывается вид неизвестной функциональной зависимости. Соображения теории размерностей и подобия достаточно просты, и они должны предшествовать как теоретическим, так и экспериментальным исследованиям, а также применяться после окончания исследований на этапе обобщения и представления итоговых зависимостей. На основе указанного выше следует, что методы теорий подобия и размерностей дополняют друг друга и могут использоваться на разных этапах решения задач.

Примеры решения задач

Задача 1. Несжимаемая вязкая жидкость течет по длинной горизонтальной круглой трубе с постоянной площадью поперечного

сечения. В какой форме следует искать зависимость ð – падение l

давления на единице длины трубы, чтобы она была универсальной? Решение. Движение несжимаемой жидкости в трубе характеризуется плотностью ρ, коэффициентом динамической вязкости μ, диаметром трубы d, и средней скоростью потока с. Тогда должна

101

размерных величин k = 3 имеют независимую размерность. Согласно π-теореме это физическое соотношение можно представить как отношение (n + 1– k = 2) двумя безразмерными величинами

π = f(π1).

Для определения π и π1 составим по формуле размерностей Фурье LTl t M m (метр, секунда, килограмм):

d [ì ]− L ; c [ì / ñ] − L / T .

Аргумент π1 = ρ à μ b d c ce . Тогда размерность π1 представим в виде

Из условия, что π1 имеет нулевую размерность, составим следующую систему уравнений для определения показателей степени:

a + b = 0; −3a − b + c + e = 0; −b − e = 0.

Одну величину всегда можно выбрать произвольно, но не 0 и не ∞. Для а = 1 из системы уравнений найдем b = −1; e = 1; c = 1. Таким образом, получим π1 = ρ dc μ . Безразмерную комбинацию

π1 называют числом Рейнольдса. Функция π = ( pl )a ρ bμ cd ec f .

Аналогичным образом размерность π представим в виде

Система уравнений для определения показателей степени a + b + с = 0; −2а − 3b −c + e + f = 0; −2a − c − f = 0.

102

В системе из трех уравнений пять неизвестных. Очевидно, комбинацию переменных ρdc/μ, которая уже рассматривается как аргумент, включать еще не имеет смысла. При с = 0 снова можно выбрать один из показателей, равным единице. Лучше взять а = 1, чтобы искомая величина была в первой степени. Тогда получим

b = −1, е = 1, f = −2 и π = ð d(l ρ c2 ) , следовательно, искомая за-

висимость

Задача 2. Сопловой аппарат воздушной турбины, параметры воздуха перед которым рон = 2,2 105 Па, Тон = 700 К, а давление за ним р1н = 1 105 Па, испытывается в модельной установке с масштабом 1:2,5. Температура воздуха перед модельным сопловым аппаратом Том = 500 К.

Какие давления воздуха ром и р1м соответственно перед модельным сопловым аппаратом и за ним необходимо поддерживать, чтобы выполнялось подобие по числам М и Re? Во сколько раз изменится расход воздуха через модель по сравнению с расходом через натурный аппарат (Gм/Gн)?

Решение. Поскольку температура воздуха в натурном аппарате и модели отличается незначительно, примем в обоих случаях одинаковыми значения вязкости воздуха μ, газовой постоянной R и показателя адиабаты k. Из условия подобия следует, что числа Re и М должны быть одинаковыми для модели и натуры

ñí lí ρí / μ =cì lì ρ ì / μ ; ñí / àí = ñì / àì ,

где с – скорость потока; l – характерный размер, например, высота сопла; а – скорость звука. Уравнения состояния и выражения для скорости звука следующие:

103

Gм/Gн=1/km=0,4

104