![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание Двойной и тройной интегралы.
- •1 Двойной интеграл. Объем цилиндрического тела.
- •2 Свойства двойных интегралов
- •3 Вычисление двойного интеграла
- •4 Двойной интеграл в полярных координатах
- •5 Вычисление площади поверхности
- •6 Вычисление площадей и объёмов посредством двойного интеграла
- •7. Тройной интеграл
- •8. Физические приложения двойных и тройных интегралов
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода.
- •1 Криволинейный интеграл второго рода по координатам
- •2 Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •3 Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)
- •4 Основные свойства криволинейного интеграла первого рода
- •5. Формула Грина.
- •7 Поверхностные интегралы
- •8 Вычисление поверхностного интеграла
- •9 Формула Стокса
- •Элементы теории поля.
- •1 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •2 Векторное поле. Поток и дивергенция поля
- •3 Циркуляция и ротор векторного поля
- •4. Оператор Гамильтона и его применение.
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •2. Однородные уравнения
- •5. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков.
- •6. Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений.
- •7. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
- •8. Уравнение Эйлера
- •9. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Теория функций комплексного переменного.
- •1. Комплексные числа
- •2. Непрерывные функции комплексного переменного
- •3. Дифференцирование функций. Условие Коши-Римана.
- •4 Сопряжённые гармонические функции
- •5 Конформное отображение
- •6 Постоянство растяжений
- •7 Интеграл по комплексному переменному
- •8 Ряд Лорана
- •9 Классификация изолированных особых точек
- •10 Вычеты
- •11. Вычисление интегралов при помощи вычетов
- •12. Вычисление интегралов, содержащих показательную функцию
- •13. Задачи по Теории Функции Комплексного Переменного
2. Однородные уравнения
Функция
называется однородной функцией степениn,
где n-целое,
если при любом
имеет место тождество
Частный
случай
Дифференциальное
уравнение вида
называется однородным, если
и
- однородные функции одинаковой степени.
Уравнение
(1) может быть приведено к виду
;
;
Пример 1
Пример 2
Замечание:
Уравнение
вида
может быть приведено к однородному
посредством замены
Пример 3
Лекция 11
Пример 4
3. Линейные уравнения и уравнения Бернулли
1. Линейные уравнения.
Метод Бернулли
Пример 1
Ответ:
Пример 2
Пример 3
2. Уравнения Бернулли
Уравнение
вида
Пример 1
Пример 2
4. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
(1)
(1)– уравнение в полных дифференциалах, если
Теорема
Чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области D изменение x и y выполнялось условие (2)
(2)
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид
Пример 1
Дифференцируем по y и приравниваем N
Интегрирующий множитель.
В
некоторых случаях, когда уравнение (1)
не является уравнением в полных
дифференциалах, удается подобрать
функцию
,
такую что
1.
2.
1.
Для существования интеграла множитель не зависит от y необходимо и достаточно, чтобы правая часть была функцией от x
Пример 2
Пример 3
5. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков.
(1)
(2)
Уравнение
(1) связывающее между собой независимые
переменные, неизвестную функцию
,
а также первые производные называют
дифференциальным уравнением второго
порядка.
Уравнение также может быть записано в виде (2).
Задача
отыскания решения уравнения (2)
удовлетворительна заданным начальным
условиям
называется задачей Коши.
Решением
уравнения (2) называется всякая функция
которая при подстановке вместе
и
обращает его в тождество.
Графиком
функции
называется функция
,
зависящая от двух произвольных постоянных
и
и такая что она является решением этого
уравнения при любых конкретных значениях
и
при любых допустимых начальных условиях.
Можно
подобрать такие значения
и
что данная функцияy
будет удовлетворять заданным начальным
условиям.
Теорема существования и единственности решения.
Если
функция
и ее частные производные
,
непрерывны в некоторой областиD,
содержащей точку
то существует единственное решение
уравнения (2) удовлетворительное начальным
условиям.
Общий
интеграл
или общее решение
представляет собой семейство кривых,
зависящее от произвольных постоянных
и
.
Задача
Коши состоит в определении интегралов
кривой
,
проходящей через данную точку
и имеющей угловой коэффициент
к касательнойt
(данное направление к данной точке).
Понижение порядка дифференциальных уравнений.
1). Если
уравнение задано в виде
,
то
Пример
2). Если
уравнение задано в виде
или
,
то
Пример 1
Пример 2
3). Если
уравнение задано в виде
,
то
Пример 1
Пример 2
Интегрирование дифференциального уравнения порядка выше второго
Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
(1)
Здесь
и
-
непрерывные функции на
.
При этих условиях единственное решение
уравнения (1) ,удовлетворяет начальным
условиям
,
где
Функция
‑ правая часть уравнения (1)
Если
приходим к линейному уравнению второго
порядка или к уравнению без правой части
(2)
Здесь
и
называются линейно-независимыми на
,
если
Это
тождество имеет место только тогда,
когда
и
равны 0.
Если
существуют такие числа
и
,из
которых хоты бы одно отлично от нуля,
то для всех
и
называются линейно-независимыми на
и
называются линейно-независимыми
(зависимыми) на
,
когда
Определитель Вронского
вронскиан
Теорема 1
Если
и
линейно-зависимые на
,
то
Если
и
линейно-независимые на
,
то
Теорема 3
Общее решение уравнения (2) имеет вид
и
-линейно-независимое
решение этого уравнения.
Чтобы получить общее решение уравнения (2) достаточно найти два линейно-независимых частных решения этого уравнения. Они образуют фундаментальную систему решения уравнения (2)
Оба
решения
и
линейно независимы
Теорема
Общее
решение у линейного неоднородного
дифференциального уравнения (1)
представляется в виде суммы
,
где
- общее решение соответствующего
однородного уравнения (2),
- некоторое частное решение уравнения
(1)
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
(1)
Сводится
к уравнению
,
которое называется характеристическим
уравнением (1)
Терема 1
Пусть
и
- корни характеристического уравнения
(2), тогда общее решение находится по
одной из следующих трех формул:
1.
Корни уравнения действительные и
различные
=>
2.
=>
3. Корни комплексные
=>
4.
=>
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Пример 6
Решение однородных уравнений второго порядка
Метод Лагранжа
Пример 1
Понижение порядка
(1)
Порядок
уравнения (1) можно понизить на 1 полагая,
что
,
затем делаем замену
.
Если известно k частных линейных независимых решений уравнения (1) , то порядок уравнения может быть понижен на k единиц.
(2)
Общее
решение уравнения (2) есть сумма общего
решения уравнения (1) и частного решения
уравнения (2)
Если имеется фундаментальная система соответствующего уравнения (1),то общее решение уравнения (2) может быть найдено методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Общее
решение уравнения (1)
,
где
‑ произвольные постоянные.
Будем искать решение уравнения (2) в виде
(3)
где
- некоторые пока независимые функции
отx.
Для их определения составим систему
(4)
Решая
систему уравнений (4) относительно
-
произвольные постоянные
(5)
,
-
производные постоянные интегрирования
Пример 1
Пример 2
Пример 3