- •Содержание Двойной и тройной интегралы.
- •1 Двойной интеграл. Объем цилиндрического тела.
- •2 Свойства двойных интегралов
- •3 Вычисление двойного интеграла
- •4 Двойной интеграл в полярных координатах
- •5 Вычисление площади поверхности
- •6 Вычисление площадей и объёмов посредством двойного интеграла
- •7. Тройной интеграл
- •8. Физические приложения двойных и тройных интегралов
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода.
- •1 Криволинейный интеграл второго рода по координатам
- •2 Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •3 Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)
- •4 Основные свойства криволинейного интеграла первого рода
- •5. Формула Грина.
- •7 Поверхностные интегралы
- •8 Вычисление поверхностного интеграла
- •9 Формула Стокса
- •Элементы теории поля.
- •1 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •2 Векторное поле. Поток и дивергенция поля
- •3 Циркуляция и ротор векторного поля
- •4. Оператор Гамильтона и его применение.
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •2. Однородные уравнения
- •5. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков.
- •6. Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений.
- •7. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
- •8. Уравнение Эйлера
- •9. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Теория функций комплексного переменного.
- •1. Комплексные числа
- •2. Непрерывные функции комплексного переменного
- •3. Дифференцирование функций. Условие Коши-Римана.
- •4 Сопряжённые гармонические функции
- •5 Конформное отображение
- •6 Постоянство растяжений
- •7 Интеграл по комплексному переменному
- •8 Ряд Лорана
- •9 Классификация изолированных особых точек
- •10 Вычеты
- •11. Вычисление интегралов при помощи вычетов
- •12. Вычисление интегралов, содержащих показательную функцию
- •13. Задачи по Теории Функции Комплексного Переменного
11. Вычисление интегралов при помощи вычетов
Теорема 1.
Пусть удовлетворяет перечисленным условиям и кроме того
при , а- достаточно большое число.
Тогда
Доказательство.
Опишем полуокружность ориентированную против часовой стрелки радиуса .
, при , топри
Теорема 2.
Пусть функция удовлетворяет условиям, отмеченным в начале и, тогда
Пример 1.
Найти вычеты функции .
Пример 2.
- полюс третьего порядка
Пример 3.
Имеется устранимая особенность в точке
;
Пример 4.
; - аналитична в верхней полуплоскости, кроме точек
; ;;
Пример 5.
Полюсами являются корни уравнения , которые лежат внутри окружности.
Теорема.
Если имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех её вычетов, включая вычет в бесконечности равна нулю.
12. Вычисление интегралов, содержащих показательную функцию
Интегралы Френеля (1788-1827)
,
13. Задачи по Теории Функции Комплексного Переменного
Найти действительные решения уравнений.
1)
; ;;
;
2)
3)
;
Найти модуль и аргумент комплексного числа.
1)
2)
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Записать в тригонометрической форме.
1)
2)
; ;
Показательная.
Вычислить
Найти все значения
Написать в комплексной форме уравнение прямой.
Написать в комплексной форме уравнение окружности.
Какая линия на плоскости определяется следующим уравнением
Центр окружности
Вычислить с точностью до 0,001
Решить уравнение
Условие Коши-Римана
;
;
Дифференцируема ли
=0
Данная функция не дифференцируема.
2)
- дифференцируема
Формула вычисления интеграла
Пример 1.
;
1. Прямая
2. Парабола
Пример 2.
;
Пример 3.
Пример 4.
Интегральная форма Коши.
Если является аналитической в области, ограниченной кусочнозамкнутой прямой
, где
Пример.
, т.к. у нас имеются особые точки и, которые не входят в данную область
окружность
Пример.
Пример.
Пример.
Ряд Тейлора. Ряд Лорана
Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки
Ближайшей к особой точкой данной функции являетсяпоэтому радиус сходимости.
Разложить по функцию
Найти область сходимости ряда
; ;
Разложить в ряд Лорана в кольце