![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание Двойной и тройной интегралы.
- •1 Двойной интеграл. Объем цилиндрического тела.
- •2 Свойства двойных интегралов
- •3 Вычисление двойного интеграла
- •4 Двойной интеграл в полярных координатах
- •5 Вычисление площади поверхности
- •6 Вычисление площадей и объёмов посредством двойного интеграла
- •7. Тройной интеграл
- •8. Физические приложения двойных и тройных интегралов
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода.
- •1 Криволинейный интеграл второго рода по координатам
- •2 Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •3 Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)
- •4 Основные свойства криволинейного интеграла первого рода
- •5. Формула Грина.
- •7 Поверхностные интегралы
- •8 Вычисление поверхностного интеграла
- •9 Формула Стокса
- •Элементы теории поля.
- •1 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •2 Векторное поле. Поток и дивергенция поля
- •3 Циркуляция и ротор векторного поля
- •4. Оператор Гамильтона и его применение.
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •2. Однородные уравнения
- •5. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков.
- •6. Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений.
- •7. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
- •8. Уравнение Эйлера
- •9. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Теория функций комплексного переменного.
- •1. Комплексные числа
- •2. Непрерывные функции комплексного переменного
- •3. Дифференцирование функций. Условие Коши-Римана.
- •4 Сопряжённые гармонические функции
- •5 Конформное отображение
- •6 Постоянство растяжений
- •7 Интеграл по комплексному переменному
- •8 Ряд Лорана
- •9 Классификация изолированных особых точек
- •10 Вычеты
- •11. Вычисление интегралов при помощи вычетов
- •12. Вычисление интегралов, содержащих показательную функцию
- •13. Задачи по Теории Функции Комплексного Переменного
Элементы теории поля.
1 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
Скалярным
полем называется плоская или
пространственная область, с каждой
точкой
которой связано определённое значение
скалярной физической величины
.
Задание поля скалярной величины
равносильно заданию скалярной функции
.
Функция
,
определяющая плоское скалярное поле,
зависит от двух переменных
,
а функция, определяющая пространственное
поле
.
Линией
уровня плоского скалярного поля
называется совокупность точек плоскости,
в которой функция этого поля имеет
одинаковые значения. Линия уровня, во
всех точках которой
имеет одно и то же значение
определяемое уравнением
.
Различным постоянным значениям функции
соответствуют различные линии уровня
,
.
Поверхностью
уровня пространственного скалярного
поля называется совокупность точек
пространства, в которых функция этого
поля имеет одинаковые значения
.
Через каждую точку проходит только одна
поверхность (линия уровня). Они заполняют
всю рассматриваемую область и не
пересекаются между собой. Производная
по направлению
называется отношение
к длине вектора
,
когда
оставаясь на прямой
.
определяет величину
скорости изменения функции
при перемещении
по направлению
.
В каждой точке, где функция дифференцируема,
она имеет производную по любому
направлению. Производные по прямо
противоположным направлениям отличаются
только по знаку.
Производная по направлению линии уровня, касательная к линии уровня и по любому направлению, касательная к поверхности уровня равны нулю.
Градиент
функции
Направление градиента в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
Из всех производных наибольшее значение имеет производная по направлению градиента.
Пример 1.
Найти
производную
в точке
по направлению биссектрисы первого
координатного угла.
Пример 2.
С какой
наибольшей скоростью может возрастать
при переходе точки
через точку
.
В каком
направлении должна двигаться
чтобы
убывала с наибольшей скоростью. Наибольшая
по абсолютной величине скорость изменения
функции
при переходе
через точку
численно равна модулю градиента функции
в точке
.
При этом функция будет возрастать или
убывать с наибольшей скоростью, смотря
по тому, будет ли точка двигаться по
направлению градиента в точке
или в противоположном направлении.
1.
Его
модуль численно равен искомой скорости
возрастания
2.
Чтобы
убывала с наибольшей скоростью при
переходе через точку
.
Точка
должна двигаться в направлении
противоположном
Пример 3.
Найти
точки, в которых функция
стационарна, т.е. точки в которых
производная по любому направлению равна
нулю. Чтобы производная в точке по любому
направлению была равна нулю, необходимо
и достаточно, чтобы все частные производные
первого порядка в этой точке обращались
в ноль.
2 Векторное поле. Поток и дивергенция поля
Векторным
полем называется плоская или
пространственная область с каждой
точкой
которой связано определённое значение
некоторой векторной физической величины.
Если векторное поле отнесено к
прямоугольной системе координат
,
а проекции
будут скалярными функциями
Поэтому
задание векторной величины
равносильно заданию скалярных функций
(проекций).
Векторной
линией векторного поля называется
кривая, направление которой в каждой
точке
совпадает с направлением вектора,
соответствующего этой точке
.
Потоком
векторного поля образованного вектором
через поверхность
называется поверхностный интеграл
(1)
Если
определяет поле скоростей текущей
жидкости, то
выражает количество жидкости, протекающей
через поверхность
за единицу времени. При этом если
- замкнутая поверхность ограниченная
областью
и если интеграл (1) берётся по внешней
стороне
,
то
называется величина потока изнутри.
Она даёт разность количества жидкости
вытекшей из области
и втекающей за единицу времени. При
из области
вытекает больше жидкости, чем в неё
втекает, что указывает на наличие в этой
области источников. При
из области
вытекает меньше жидкости, чем в неё
втекает, что означает наличие в этой
области стоков. При
из области
вытекает столько же жидкости, сколько
втекает.
Дивергенцией
векторного поля, определяемого вектором
,
называется скаляр
(2)
Если
,
то точка
называется источником.
Если
,
то точка
называется стоком.
В
первом случае в любой бесконечно малой
области, окружающей точку
,
жидкость возникает.
характеризует
мощность источника или стока.
Векторное поле, во всех точках которого дивергенция равна нулю, называется соленоидальным.
Согласно формуле Остроградского поток и дивергенция векторного поля связаны следующим равенством
(3)
Смысл формулы (3):
Поток
векторного поля через поверхность
равен тройному интегралу ограниченного
этой поверхностью от дивергенции поля.
Каждая
точка поля радиуса
является источником постоянной мощности.