![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание Двойной и тройной интегралы.
- •1 Двойной интеграл. Объем цилиндрического тела.
- •2 Свойства двойных интегралов
- •3 Вычисление двойного интеграла
- •4 Двойной интеграл в полярных координатах
- •5 Вычисление площади поверхности
- •6 Вычисление площадей и объёмов посредством двойного интеграла
- •7. Тройной интеграл
- •8. Физические приложения двойных и тройных интегралов
- •Криволинейные интегралы первого и второго рода.
- •1 Криволинейный интеграл второго рода по координатам
- •2 Вычисление криволинейного интеграла по координатам
- •3 Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)
- •4 Основные свойства криволинейного интеграла первого рода
- •5. Формула Грина.
- •7 Поверхностные интегралы
- •8 Вычисление поверхностного интеграла
- •9 Формула Стокса
- •Элементы теории поля.
- •1 Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент
- •2 Векторное поле. Поток и дивергенция поля
- •3 Циркуляция и ротор векторного поля
- •4. Оператор Гамильтона и его применение.
- •Дифференциальные уравнения
- •1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •2. Однородные уравнения
- •5. Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков.
- •6. Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений.
- •7. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора.
- •8. Уравнение Эйлера
- •9. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Теория функций комплексного переменного.
- •1. Комплексные числа
- •2. Непрерывные функции комплексного переменного
- •3. Дифференцирование функций. Условие Коши-Римана.
- •4 Сопряжённые гармонические функции
- •5 Конформное отображение
- •6 Постоянство растяжений
- •7 Интеграл по комплексному переменному
- •8 Ряд Лорана
- •9 Классификация изолированных особых точек
- •10 Вычеты
- •11. Вычисление интегралов при помощи вычетов
- •12. Вычисление интегралов, содержащих показательную функцию
- •13. Задачи по Теории Функции Комплексного Переменного
3 Вычисление двойного интеграла
ABC-
ADC-
BAD-
BCD-
Теорема
Двойной интеграл по правильной области D равен двукратному (повторному) интегралу по той же области D.
Пример 1
D:
x
= 2; y
= x;
4 Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть
в полярной системе координат
задана такая областьD,
что каждый луч, проходящий через
внутреннюю точку области D,
пересекает границу области D
не более чем в двух точках (правильная
область).
Предположим,
что D
ограничена кривыми
,
и лучами
и
;
;
;
.
![](/html/2706/213/html_QKee51wd8n.HmpF/img-FzAj9D.png)
Разобьём
область D
каким-либо способом на площадки
.
(1)
- некоторая точка
на площадке
Из
теоремы о существовании следует, что
при стремлении наибольшего диаметра
к нулю, существует предел интегральной
суммы (1).
(2)
Площадки
будут трёх видов:
не пересекаемые границей, лежащие в области D;
не пересекаемые границей, лежащие вне области D;
пересекаемые границей области D.
- произвольная
точка площади
Двойной знак суммирования следует понимать в том смысле, что мы производим сначала суммирование по индексу i, считая k = const, т.е. отбираем слагаемые заключённые между двумя соседними лучами. Внешний знак суммирования означает, что мы собираем вместе все суммы, полученные при первом суммировании.
Найдём
выражение
.
Она должна быть равна разности площадей
двух секторов.
Таким
образом
.
Подынтегральная
сумма будет иметь вид
- точка площадки
.
Вынесем
множитель
за знак внутренней суммы, потому что он
является общим множителем для всех
слагаемых этой суммы.
Предположим,
что
,
а
остаётся постоянным, тогда выражение
в квадратных скобках будет стремиться
к
(3)
Пример
D: кольцо
5 Вычисление площади поверхности
Пусть
требуется вычислить площадь поверхности
ограниченной линией
.
Поверхность задана уравнением
где
непрерывна и имеет непрерывные частные
производные.
Обозначим
проекцию линии
на плоскостиOXY
через L.
Область на плоскости OXY,
ограниченную линией L
обозначим D.
Разобьём произвольным образом D
на n
элементарных площадок
.
В каждой площадке возьмём точку
.
Точке
будет соответствовать на поверхности
точка
.
Через точку
проведём касательную плоскость к
поверхности. Её уравнение имеет вид
(1)
На
этой плоскости выделим такую площадку
,
которая проектируется наOXY
в виде площадки
.
Рассмотрим сумму всех площадок
.
Предел
этой суммы, когда наибольший из диаметров
площадок
стремится к нулю будем называть площадью
поверхности.
(2)
Займёмся
вычислением площади поверхности.
Обозначим через
угол между касательной плоскостью иOXY.
(3)
Согласно
определению предел интегральной суммы,
стоящей в правой части последнего
равенства
Если
или
,
то соответствующие формулы для вычисления
площади поверхности имеют вид
6 Вычисление площадей и объёмов посредством двойного интеграла
Пусть
неотрицательная непрерывная функция в замкнутой областиD. Если объём тела ограниченного сверху поверхностью
, снизу областьюD, а сбоку соответствующей цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси OZ и направляющей совпадающей с границей области D, то
Пусть тело ограниченное сверху поверхностью
, снизу
, причём проекцией обеих поверхностей наOXY служит область D, в которой
и
непрерывны, причём
Пример 1
Вычислить
площадь фигуры ограниченной
и
Пример 2
V: z = 0