3 Вычисление двойного интеграла

ABC- ADC- BAD- BCD-

Теорема

Двойной интеграл по правильной области D равен двукратному (повторному) интегралу по той же области D.

Пример 1

D: x = 2; y = x;

4 Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в полярной системе координат задана такая областьD, что каждый луч, проходящий через внутреннюю точку области D, пересекает границу области D не более чем в двух точках (правильная область).

Предположим, что D ограничена кривыми ,и лучамии;;;.

Разобьём область D каким-либо способом на площадки .

(1)

- некоторая точка на площадке

Из теоремы о существовании следует, что при стремлении наибольшего диаметра к нулю, существует предел интегральной суммы (1).

(2)

Площадки будут трёх видов:

1. не пересекаемые границей, лежащие в области D;

2. не пересекаемые границей, лежащие вне области D;

3. пересекаемые границей области D.

- произвольная точка площади

Двойной знак суммирования следует понимать в том смысле, что мы производим сначала суммирование по индексу i, считая k = const, т.е. отбираем слагаемые заключённые между двумя соседними лучами. Внешний знак суммирования означает, что мы собираем вместе все суммы, полученные при первом суммировании.

Найдём выражение . Она должна быть равна разности площадей двух секторов.

Таким образом .

Подынтегральная сумма будет иметь вид

- точка площадки .

Вынесем множитель за знак внутренней суммы, потому что он является общим множителем для всех слагаемых этой суммы.

Предположим, что , аостаётся постоянным, тогда выражение в квадратных скобках будет стремиться к

(3)

Пример

D: кольцо

5 Вычисление площади поверхности

Пусть требуется вычислить площадь поверхности ограниченной линией . Поверхность задана уравнениемгденепрерывна и имеет непрерывные частные производные.

Обозначим проекцию линии на плоскостиOXY через L. Область на плоскости OXY, ограниченную линией L обозначим D. Разобьём произвольным образом D на n элементарных площадок . В каждой площадке возьмём точку. Точкебудет соответствовать на поверхности точка. Через точкупроведём касательную плоскость к поверхности. Её уравнение имеет вид(1)

На этой плоскости выделим такую площадку , которая проектируется наOXY в виде площадки . Рассмотрим сумму всех площадок. Пределэтой суммы, когда наибольший из диаметров площадокстремится к нулю будем называть площадью поверхности.

(2)

Займёмся вычислением площади поверхности. Обозначим через угол между касательной плоскостью иOXY.

(3)

Согласно определению предел интегральной суммы, стоящей в правой части последнего равенства

Если или, то соответствующие формулы для вычисления площади поверхности имеют вид

6 Вычисление площадей и объёмов посредством двойного интеграла

1. 

2. Пусть неотрицательная непрерывная функция в замкнутой областиD. Если объём тела ограниченного сверху поверхностью , снизу областьюD, а сбоку соответствующей цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси OZ и направляющей совпадающей с границей области D, то

3. Пусть тело ограниченное сверху поверхностью , снизу, причём проекцией обеих поверхностей наOXY служит область D, в которой инепрерывны, причём

Пример 1

Вычислить площадь фигуры ограниченной и

Пример 2

V: z = 0