11. Вычисление интегралов при помощи вычетов

Теорема 1.

Пусть удовлетворяет перечисленным условиям и кроме того

при , а- достаточно большое число.

Тогда

Доказательство.

Опишем полуокружность ориентированную против часовой стрелки радиуса .

, при , топри

Теорема 2.

Пусть функция удовлетворяет условиям, отмеченным в начале и, тогда

Пример 1.

Найти вычеты функции .

Пример 2.

- полюс третьего порядка

Пример 3.

Имеется устранимая особенность в точке

;

Пример 4.

; - аналитична в верхней полуплоскости, кроме точек

; ;;

Пример 5.

Полюсами являются корни уравнения , которые лежат внутри окружности.

Теорема.

Если имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех её вычетов, включая вычет в бесконечности равна нулю.

12. Вычисление интегралов, содержащих показательную функцию

Интегралы Френеля (1788-1827)

,

13. Задачи по Теории Функции Комплексного Переменного

Найти действительные решения уравнений.

1)

; ;;

;

2)

3)

;

Найти модуль и аргумент комплексного числа.

1)

2)

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Записать в тригонометрической форме.

1)

2)

; ;

Показательная.

Вычислить

Найти все значения

Написать в комплексной форме уравнение прямой.

Написать в комплексной форме уравнение окружности.

Какая линия на плоскости определяется следующим уравнением

Центр окружности

Вычислить с точностью до 0,001

Решить уравнение

Условие Коши-Римана

;

;

1. Дифференцируема ли

=0

Данная функция не дифференцируема.

2)

- дифференцируема

Формула вычисления интеграла

Пример 1.

;

1. Прямая

2. Парабола

Пример 2.

;

Пример 3.

Пример 4.

Интегральная форма Коши.

Если является аналитической в области, ограниченной кусочнозамкнутой прямой

, где

Пример.

, т.к. у нас имеются особые точки и, которые не входят в данную область

окружность

Пример.

Пример.

Пример.

Ряд Тейлора. Ряд Лорана

Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки

Ближайшей к особой точкой данной функции являетсяпоэтому радиус сходимости.

Разложить по функцию

Найти область сходимости ряда

; ;

Разложить в ряд Лорана в кольце

1