- •В.Ю. Арышенский, в.Р. Каргин, б.В. Каргин
- •Isbn 978-5-7883-0679-7
- •Оглавление
- •Основные условные обозначения
- •Декартовы тензоры и тензорные обозначения
- •Напряженное состояние в окрестности заданной точки
- •Главные нормальные и касательные напряжения. Октаэдричиские напряжения.
- •Разложение тензора напряжений
- •Круги мора для напряжений
- •Деформированное состояние тела
- •Основные уравнения теории упругости
- •Плоские и осесимметричные задачи теории упругости
- •Удельная потенциальная энергия
- •Условие пластичности и наступление
- •Применение теории пластичности
- •Приложение
- •Единицы
- •Международной системы си в задачах
- •По механике сплошных сред
- •Арышенский Владимир Юрьевич
Основные уравнения теории упругости
Основной закон упругости может быть записан в следующей форме:
,
где – упругие константы.
Применяется и следующий вид этого уравнения:
.
В случае ортотропного тела закон Гука через технические константы выражается таким образом:
, ;
, ;
, .
Часто вместо индексов ,,принимают индексы 1, 2, 3. Например,.
Ввиду изотропного материала основной закон упругости в прямой форме выражается формулами
, ;
, ;
, .
Его можно представить также и в виде двух законов: закона изменения объема
и закона упругого изменения формы тела .
Здесь – объемный модуль упругости.
Закон Гука в обратной форме
, ,
, ,
, ,
где - коэффициент Ляме,
.
Модуль сдвига
.
Задачи
Определить относительные линейные, угловые и объемные деформации в изотропном теле по данным табл. 7:
Таблица 7
Из уравнения, выражающего обобщенный закон упругости для изотропного материала, получить выражение закона Гука для следующих случаев:
одноосное растяжение;
одноосное сжатие;
двухосное растяжение;
.
Для неметаллических ортотропных материалов определены упругие постоянные в табл. 8.
Таблица 8
Для напряженного состояния, заданного тензором
,
определить линейные, угловые и объемные деформации.
Компоненты материального тензора, входящего в уравнения упругости , при изотропном теле можно представить следующим образом:
.
Для данного случая записать закон Гука через постоянные и.
Показать, что можно разбить на две группы:
и .
Здесь и– компоненты девиаторов напряжений и деформаций.
Замерены следующие деформации табл. 9:
Таблица 9
Используя данные по упругим постоянным, приведенным в задачах 7.1 и 7.2, определить напряженные состояния материала. Используя данные таблицы, представить закон Гука в виде законов изменения объема и формы тела. Показать также зависимости .
Стержень длиной равномерно растянут в пределах упругой деформации на величину. Определить перемещения точек тела,,и возникающие напряжения для следующих случаев:
стержень имеет круглое сечение;
стержень имеет квадратное сечение.
Определить, под действием каких сил находится круглый цилиндрический стержень, если его перемещения выражаются функциями
, ,.
Вывести следующие зависимости между упругими постоянными:
, .
Образец упруго растянут с относительной деформацией . Модуль нормальной упругости 196 ГПа, коэффициент Пуассона. Определить относительное изменение объема образца.
Куб размерами м подвергнут осадке на величинув пределах упругости. Коэффициент Пуассона. Определить объемную деформацию.
Стальная деталь нагружена и замерены следующие упругие деформации: ,,,,. Найти напряженное состояние детали, еслиМПа,.