- •В.Ю. Арышенский, в.Р. Каргин, б.В. Каргин
- •Isbn 978-5-7883-0679-7
- •Оглавление
- •Основные условные обозначения
- •Декартовы тензоры и тензорные обозначения
- •Напряженное состояние в окрестности заданной точки
- •Главные нормальные и касательные напряжения. Октаэдричиские напряжения.
- •Разложение тензора напряжений
- •Круги мора для напряжений
- •Деформированное состояние тела
- •Основные уравнения теории упругости
- •Плоские и осесимметричные задачи теории упругости
- •Удельная потенциальная энергия
- •Условие пластичности и наступление
- •Применение теории пластичности
- •Приложение
- •Единицы
- •Международной системы си в задачах
- •По механике сплошных сред
- •Арышенский Владимир Юрьевич
Декартовы тензоры и тензорные обозначения
Тензорные обозначения широко используют в механике сплошных сред. Они позволяют упростить запись величин и выражений и сделать их более ясными.
Декартовы координаты прямоугольной системы координат ,,обозначают через,,и записывают их как, где индекспринимает значения 1, 2, 3 (рис. 1). Тогда,,.
Вместо индекса можно взять другую латинскую букву, например. Тогда имеем.
Рис. 1
Широкое распространение получило правило суммирования, введенное А. Эйнштейном. Согласно этому правилу по всякому дважды повторяющемуся в одночлене латинскому индексу проводится суммирование по значениям 1, 2, 3, а знак суммы опускается, т.е.
.
Эта запись является равносильной записи
.
Повторяющийся индекс называется немым. В каждом одночлене он не должен встречаться более двух раз. Если немой индекс заменить другой буквой, то сумма не меняет своего значения:
.
Неповторяющиеся индексы называются свободными. В одночлене индекс- свободный,- немой.
В тензорных обозначениях широко используют символ Кронекера (единичный тензор):
Вектор в трехмерном пространстве характеризуется тремя компонентами,,и описывается тензором первого ранга. При изменении системы координат компоненты преобразуются по формуле
, (1)
где - компоненты вектора в новой системе,
- компоненты вектора в старой системе,
- косинусы углов между старой и новой системами координат.
Компоненты тензора второго ранга можно обозначить через ,.
Соотношения между тензорными обозначениями и использованными выше обозначениями координат через ,,очевидны:
Компоненты тензора второго ранга преобразуются по следующему закону:
, (2)
где - компоненты тензора в новой системе,
- компоненты тензора в старой системе,
, - косинусы углов между старой и новой системами координат.
В индексных обозначениях ранг тензора определяется только свободными индексами, например - тензор первого ранга,- тензор второго ранга,- тензор четвертого ранга.
Над тензорами можно проводить ряд операций:
Два тензора одинакового ранга равны, если равны их соответствующие компоненты .
Умножение тензора на скаляр дает новый тензор того же ранга.
Тензоры одинакового ранга можно складывать или вычитать покомпонентно .
Число компонент тензора подчиняется выражению , гдеN – число компонент, а Р – ранг тензора.
Задачи
Даны два симметричных тензора второго ранга:
, .
При каком значении тензоры A и B равны между собой? Чему при этом равны а, б, в?
Записать в развернутой форме статические уравнения равновесия сил
.
Решение. Индекс - немой, принимает все возможные значения 1,2,3 и по нему проводим суммирование. Если выбрано и зафиксировано определенное направление, то индекс не меняется. Например, если выбрано направление, то везде. В декартовой системе координат, в то время как пробегает значения ,,. Приняв последовательно, получим уравнения равновесия сил для всех направлений:
:,
:,
:,
или в декартовых координатах:
,
,
.
В трехмерном пространстве расшифровать уравнение
.
Решение. В одночлене два немых индекса и . Следовательно проводится двойное суммирование:
,
.
В начале провели суммирование по индексу (), затем по индексу ().
Записать в развернутой форме следующие тензорные символы:
, ,,.
Найти значения выражений, содержащих символ Кронекера:
, , , , , .
Записать в развернутом виде:
, .
Известно, что составляющие полного напряжения на наклонной площадке в прямоугольной системе координат ,,записываются следующим образом (уравнения Коши):
,
,
.
Записать их в тензорном обозначении.
Решение. Из последнего равенства видно, что индекс "" относится ки стоит первым в обозначении напряжений. Предположим, что мы обозначили его через "". Второй индекс входит в выражение напряжений и направляющих косинусов. Обозначим его "". Следовательно, в тензорном обозначении указанные уравнения можно представить так:
.
Таким образом, при ,.
Нормальное напряжение на наклонной площадке записывается в виде
или
.
Дать тензорную запись этих уравнений, приняв ,,.
Первый и второй инварианты тензора напряжений имеют вид
,
.
Представить их в тензорном обозначении.
Представить следующие формулы в тензорном обозначении:
,
,
.
Определить ранг тензорных величин
, ,,.
В системе координат ,,задан вектор. Определить его компоненты в новой системе координат,,, направление осей которой задано табл.1 направляющих косинусов:
Таблица 1
Решение. На основании формулы (1) имеем:
,
,
.
В системе координат ,,вектор записывается следующим образом:
.
В системе координат ,,задан вектор. Определить компоненты в новой системе координат,,, полученной поворотом вокруг осина угол. Табл.2 направляющих косинусов имеет вид:
Таблица 2
Для тензора второго ранга
.
Определить компоненты в системе координат,,, заданной табл.3 направляющих косинусов.
Таблица 3
Решение. По формуле (2):
и т.д.
В результате
.
В системе координат ,,задан симметричный тензор второго ранга:
,
где по главной диагонали Ф – число букв в фамилии, И – число букв в имени, О – число букв в отчестве студента.
Определить его компоненты в новой системе координат ,,, полученной поворотом вокруг осина угол, направление осей которой задано табл.2 направляющих косинусов в задаче 1.13.