![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •В.Ю. Арышенский, в.Р. Каргин, б.В. Каргин
- •Isbn 978-5-7883-0679-7
- •Оглавление
- •Основные условные обозначения
- •Декартовы тензоры и тензорные обозначения
- •Напряженное состояние в окрестности заданной точки
- •Главные нормальные и касательные напряжения. Октаэдричиские напряжения.
- •Разложение тензора напряжений
- •Круги мора для напряжений
- •Деформированное состояние тела
- •Основные уравнения теории упругости
- •Плоские и осесимметричные задачи теории упругости
- •Удельная потенциальная энергия
- •Условие пластичности и наступление
- •Применение теории пластичности
- •Приложение
- •Единицы
- •Международной системы си в задачах
- •По механике сплошных сред
- •Арышенский Владимир Юрьевич
Применение теории пластичности
Энергетическое условие пластичности может быть представлено в линейном виде:
тело изотропное
,
где
;
–коэффициент
Лоде лежит в пределах от
до
;
тело ортотропное
,
где
;
;
.
Интенсивность деформаций (при условии постоянства объема) в случае изотропного тела может быть получена по формуле
или
,
где
,
,
– логарифмические деформации.
Если тело является ортотропным, то
.
При плоском напряженном состоянии физические уравнения имеют вид:
тело изотропное
,
.
тело ортотропное
,
.
Задачи
Стальной толстостенный цилиндр находится под действием внутреннего давления
. Определить предел пластического сопротивления, т.е. то наименьшее давление
, при котором весь металл перейдет в пластическое состояние (тело принять изотропным). Для численного решения использовать данные задачи 10.7.
Определить предел текучести пластического сопротивления стального цилиндра в случае цилиндрической анизотропии. Для численного решения использовать данные, приведенные в задаче 10.8.
В задаче 11.1 изменить условие, считая, что действует и наружное давление
. Рассмотреть два случая:
и
.
Нанесенная на свободную поверхность листовой заготовки круглая ячейка делительной сетки диаметром
на конечном этапе деформирования превратилась в эллипс, главные диаметры которого соответственно равны
;
. Использовав уравнение кривой упрочнения
, определить главные компоненты напряжения. Процесс деформирования считать монотонным.
Решение. Определим значения главных логарифмических деформаций:
;
;
;
;
.
Интенсивность логарифмических линейных деформаций найдем по формуле
Интенсивность нормальных напряжений рассчитываем по уравнению кривой упрочнения
.
Поскольку
сетка нанесена на свободную поверхность,
то напряжение, нормальное поверхности
листа
,
является главным и равно нулю. Для
определения остальных главных компонент
напряжений воспользуемся соотношением
Гука – Генки:
;
,
отсюда следует
;
;
;
;
На поверхность листа из сплава ОТ4-1 (см. табл.10) была нанесена координатная сетка в виде кругов
мм. После деформации листа круги сетки превратились в эллипсы с размерами главных осей
мм и
мм. Кривая истинных напряжений аппроксимируется степенной функцией
, где
и
– константы материала. В данном случае
, а
МПа. Считая, что главные оси деформации совпадают с осями эллипса, определить значение компонент напряжений и деформации (
принять равным нулю). Как изменяются полученные результаты, если не учитывать анизотропию материала?
Известно, что при гидростатическом выпучивании листовых материалов в центре лунки
. Провести сравнение интенсивностей деформаций и напряжений изотропного материала, трансверсально-изотропного сплава (например, ОХ18Н9Т) и одного из ортотропных листов. Данные по коэффициенту поперечной деформации взять из таблицы 10.
Определить значение коэффициента Лоде
для материалов, указанных в таблице. Рассмотреть случае, когда
,
,
.
Тонкостенная труба (
мм) из алюминиевого сплава с внешним диаметром
мм подвергалась растяжению и внутреннему давлению так, что все время сохранялось следующее равенство между напряжениями:
. Деформация проводилась вплоть до конечного осевого напряжения
МПа. Принимая материал трансверсально-изотропным (
) и коэффициенты степенной аппроксимации
,
МПа, определить конечные размеры трубы.
Найти связь между напряжениями и деформациями в пластической области, когда
. Рассмотреть три случая:
материал принят изотропным;
тело является трансверсально-изотропным;
среда – ортотропная.
Упрочнение
материала аппроксимировано степенной
функцией
.
Длинная толстостенная труба находится под давлением. Определить напряженно-деформированное состояние и размеры трубы после деформации, если известно:
внутреннее давление
(
);
внешнее давление
(
).
Материал трубы (несжимаемый) последовательно принять изотропным, трансверсально-изотропным и ортотропным. Упрочнение принять по степенному закону.
Определить напряженно-деформированное состояние в длинной толстостенной трубе, а также внутреннее давление
, если известно изменение радиуса
. Рассмотреть два случая:
и
.
Материал трубы принять по условию задачи 11.9. Задачу решить при условии степенного закона упрочнения.
Определить напряженно-деформированное состояние в длинной толстостенной трубе, а также внешнее давление
, если известно, что
. Рассмотреть два случая:
и
.
Материал трубы принять по условию задачи 11.9.
Найти остаточные напряжения и закрутку после упругопластического кручения прутка круглого поперечного сечения радиусом
из идеально упругопластического материала на угол
при следующих исходных данных: предел текучести
МПа,
рад/м, модуль сдвига
МПа,
м,
- номер в списке студента в группе,
- номер группы.
Решение. Будем
считать, что при кручении моментом
плоские поперечные сечения прутка
остаются плоскими и за пределом упругости
материала. При этом смежные поперечные
сечения, отстоящие друг от друга на
расстоянии
,
поворачиваются относительно друг
друга на относительный угол
,
где
– угол кручения.
Согласно теореме о разгрузке А.А. Ильюшина (рис. 14):
,
где
– относительный остаточный угол
кручения;
–относительный
угол упругой раскрутки.
Рис. 14
Величина угловой
деформации
равна углу, заключенному между образующей
круглого прутка и разверткой винтовой
линии:
,
где
– текущий радиус.
Напряженное состояние является плоским и осесимметричным, а матрицы тензоров напряжений и деформаций имеют вид
,
.
При кручении моментом цилиндрического прутка в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения
.
В случае упругого
кручения касательные напряжения
максимальны на периферии при
и по линейному закону уменьшаются,
обращаясь в нуль в центре сечения
(рис. 15):
Рис. 15
Действуя на
кольцевую площадку
,
они создают элементарный момент
относительно оси, равный
.
Тогда крутящий момент в упругой области
равен
,
где
– полярный момент инерции для круглого
поперечного сечения:
.
При увеличении
момента кручения касательное напряжение
достигает по условию пластичности
Треска-Сен-Венана предельного значения
,
и в поверхностном
слое прутка возникает пластическая
деформация (рис. 16). При дальнейшем
увеличении
пластическая деформация распространяется
вглубь. Величину радиуса
,
определяющего границу между упругой
и пластической зонами, легко найти
по формуле
,
откуда
.
Рис. 16
Как видно из рис. 16, периферийные слои находятся в пластическом, а центральные – в упругом состоянии. Касательные напряжения распределены в поперечном сечении следующим образом:
Крутящий момент
складывается из крутящего момента в
упругой области
и крутящего момента в пластической
области
:
.
После снятия
внешнего момента
(разгрузки) в прутке возникнут остаточные
касательные напряжения
,
вызывающие
раскручивание прутка на угол
(рис. 17). Момент при упругой разгрузке
равен
.
Из условия равенства
суммы моментов нагрузки и разгрузки
нулю ()
находим максимальное касательное
напряжение
:
,
откуда
.
Таким образом распределение остаточных касательных напряжений имеет вид
при
,
при
.
Рис. 17
Из рис. 17 видно, что остаточные касательные напряжения отрицательны на внешней части поперечного сечения прутка и положительны во внутренней.
Угол упругой раскрутки найдем из уравнения
.
Окончательно имеем
.
Остаточный угол кручения
.
11.13 Для
толстостенной стальной трубы имеющей
внутренний диаметр
м
и наружный диаметр
м,
и изготовленный из пластического
материала с
МПа
требуется:
Определить внутреннее давление
, при котором в материале трубы начнется пластическое течение по критерию максимальных касательных напряжений.
Построить эпюры распределения напряжений
и
по толщине стенки.
Решение.
1. По формулам из задачи 8.14 определяем давление, при котором на внутренней поверхности трубы появятся пластические деформации:
;
;
,
.
.
2. С учетом
того, что
определяем напряжения, соответствующие
началу пластичского течения:
,
.
Данные числовых расчетов сводим в табл. 11:
Таблица 11
Эпюры
напряжений
и
приведены на рис. 18.
Рис.18
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Безухов, Н.И. Примеры и задачи по теории упругости, пластичности и ползучести. Н.И. Безухов. - М.: Высш. шк., 1965. - 320 с.
Томсен Э. Механика пластических деформаций при обработке металлов/ Э. Томсен, Ч. Янг, Ш. Кобаяши. - М.: Машиностроение, 1969. - 504 с.
Смирнов, В.С. Сборник задач по обработке металлов давлением/ В.С. Смирнов - М.: Металлургия, 1973. - 191 с.
Яковлев, С.П. Сборник задач с решениями по курсу "Теория обработки металлов давлением"/ С.П. Яковлев, И.А. Смаригдов, В.Д. Кухарь, П.Л. Макарова. Тульский политехн. ин-т, 1978. - 48 с.
Мейз, Д. Теория и задачи механики сплошных сред/ Д. Мейз. - М.: Мир, 1974.318 с.
Илюкович, Б.М. Введение в теорию пластичности/ Б.М. Илюкович. - Киев: Высш. шк. 1983. - 160 с.
Гунн, Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением/ Г.Я. Гунн. - М.: Металлургия, 1980. - 456 с.
Сторожев, М.В. Теория обработки металлов давлением/ Е.А. Попов. - М.: Машиностроение, 1971. - 424 с.