![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •В.Ю. Арышенский, в.Р. Каргин, б.В. Каргин
- •Isbn 978-5-7883-0679-7
- •Оглавление
- •Основные условные обозначения
- •Декартовы тензоры и тензорные обозначения
- •Напряженное состояние в окрестности заданной точки
- •Главные нормальные и касательные напряжения. Октаэдричиские напряжения.
- •Разложение тензора напряжений
- •Круги мора для напряжений
- •Деформированное состояние тела
- •Основные уравнения теории упругости
- •Плоские и осесимметричные задачи теории упругости
- •Удельная потенциальная энергия
- •Условие пластичности и наступление
- •Применение теории пластичности
- •Приложение
- •Единицы
- •Международной системы си в задачах
- •По механике сплошных сред
- •Арышенский Владимир Юрьевич
Главные нормальные и касательные напряжения. Октаэдричиские напряжения.
Главные нормальные напряжения выделяют из условия равенства определителя нулю
.
Отсюда
,
(3)
где
,
,
.
Решая кубичное
уравнение (3), получаем три главных
нормальных напряжения
,
и
,
которые располагаются следующим образом:
.
Коэффициенты
,
,
называются инвариантами тензора
напряжений и их значения не зависят
от выбранной системы координат.
При решении методом Кардано подстановкой
кубичное уравнение (1) приводится к виду
,
(4)
где
,
.
Если дискриминант приведенного уравнения (4) отрицателен, то все корни вещественные
,
,
,
,
где
.
Если кубичное уравнение можно разложить на линейное и квадратное уравнения, то задача определения главных нормальных напряжений упрощается:
;
,
;
,
.
Каждому главному нормальному напряжению будет соответствовать главная ось, для которой направляющие косинусы находятся их решения системы уравнений:
(5)
Сюда добавляется условие:
.
(6)
Для определения
положения главных осей в два из трех
уравнений системы (5) подставляются
значения главных напряжений (,
,
),
а в качестве третьего используется
(6).
Максимальные касательные напряжения подсчитываются по формулам
,
,
.
При
наибольшим из них будет
.
Октаэдрической является площадка, которая равно наклонена к главным направлениям напряжений. Октаэдрическое нормальное напряжение
,
а октаэдрическое касательное напряжение в главных осях
или в произвольных осях
.
Задачи
Записать тензор напряжений через его главные значения для следующих случаев:
линейное напряженное состояние;
плоское напряженное состояние (рассмотреть возможные случаи);
объемное напряженное состояние (рассмотреть возможные случаи).
Напряженное состояние в точке тела задано одним из следующих тензоров:
,
,
,
,
,
.
Определить главные нормальные напряжения и направления главных осей. Затем в тензорах изменить "+" на "-" и сделать вывод.
Решение.
.
Для определения главных нормальных напряжений через заданные значения компонент напряжений в произвольной системе координат составим определитель
.
Раскроем его по первой строке
.
Получим кубическое уравнение в виде произведения линейного и квадратного уравнений
.
Тогда
,
,
,
отсюда
,
.
Таким образом,
наблюдается случай линейного растяжения.
При подстановке
получаем следующую систему для определения
,
,
,
описывающих положение главной
оси 1 в пространстве:
откуда
.
Для
уравнения сводятся к виду
Их недостаточно
для однозначного определения второй и
третьей главных осей. Следовательно,
любая пара взаимно перпендикулярных
осей, перпендикулярных направлению
от
,
может служить главными осями. Это
очевидно из понятия линейного растяжения.
3.3 Найти главные значения напряжений и направления главных осей тензора напряжений
(МПа).
Решение. Составим определитель и раскроем по третьей строке:
.
.
Отсюда
МПа,
МПа,
МПа.
Определим направление главных осей.
Для
,
,
,
.
Решая эту
систему, получаем
.
Из условия
найдем
.
Для
МПа,
,
,
.
Решая эту
систему, получаем
,
.
Для
МПа,
,
.
Тогда
,
.
3.4 Напряженное состояние в точке, отнесенное к системе декартовых координат, записано в виде тензора.
.
Величина
составляющих тензора дана в
.
Нужно вычислить величину и направление
главных напряжений.
Решение.
Одну составляющую главных напряжений
можно определить сразу же из данного
тензора, а именно
.
Нормальные составляющие напряжения
можно получить из первых двух уравнений,
когда
.
Тогда, определяя коэффициенты направляющих косинусов и задавая определитель равным нулю, получим
,
,
,
.
Отсюда
,
Направляющие косинусы можно определить из записи тензора напряжений. В данной задаче видно, что
,
,
,
и
.
Возведя в квадрат последнее уравнение и определив одновременно направляющие косинусы, получим
,
,
.
Таким же образом находим
,
,
,
,
.
3.5 На рис. 5 показаны три взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через рассматриваемую точку, с действующими на них напряжениями. Вычислить главные напряжения.
Рис. 5
Рис. 6
3.6 Для заданного
напряженного состояния (рис. 6),
представляющего собой положение
трех чистых сдвигов во взаимно
перпендикулярных плоскостях, определить
главные нормальные напряжения и
максимальные касательные напряжения,
если
и
МПа.
Решение. Для определения главных нормальных напряжений можно воспользоваться кубическим уравнением (3). После подстановки компонент напряжений получаем следующее кубическое уравнение:
,
где
,
,
.
По условию
МПа,
тогда
.
Левую часть последнего уравнения можно разложить на множители:
.
Приравнивая к
нулю первый сомножитель, находим один
из корней уравнения
МПа.
Решив квадратное уравнение
,
найдем остальные
два корня:
МПа
или
МПа,
МПа.
С учетом правила
индексов для главных напряжений
МПа,
МПа,
МПа.
Максимальное касательное напряжение
МПа.
3.7 На рис. 7 приведены различные напряженные состояния в главных осях. Дать обозначения главных нормальных напряжений; указать вид напряженного состояния; показать площадки, на которых действуют максимальные касательные напряжения, обозначить их.
Рис. 7
Напряженное состояние в точке тела задано одним из следующих тензоров:
,
,
,
.
Определить главные напряжения и направления главных осей.
3.9 Для плоского
напряженного состояния ()
вывести формулы для определения
главных нормальных напряжений. Для
этого случая записать также формулы
максимальных касательных напряжений.
3.10 Вычислить величины максимальных и октаэдрических касательных напряжений, если напряженное состояние задано одним из следующих тензоров:
,
,
.
3.11 Найти выражения для расчета линейного, квадратного и кубического инвариантов тензора напряжений в главных осях для следующих случаев:
линейное напряженное состояние;
плоское напряженное состояние;
объемное напряженное состояние.
3.12 Вычислить главные значения и инварианты симметричного тензора напряжений
.
3.13 Главные нормальные напряжения в данной точке тела приведены в табл. 6:
Таблица 6
Присвоить численным
значениям обозначения
,
,
и вычислить максимальные касательные
напряжения
,
,
.
3.14 Доказать,
что
.
3.15 Определить
главные напряжения и направления
главных площадок, если напряженное
состояние в точке задано следующими
компонентами:
МПа,
МПа,
МПа,
МПа,
МПа,
МПа.
Решение.
Определяем инварианты заданного напряженного состояния:
МПа;
МПа;
МПа.
Определяем коэффициенты уравнения (4):
,
.
Определим дискриминант приведенного уравнения:
.
Так как дискриминант отрицателен, значит все корни приведенного уравнения вещественные.
Вычисление величин главных напряжений. Для решения проведенного уравнения применим формулу Кардано:
,
,
,
где
;
;
;
;
,
,
.
Окончательно получим:
МПа,
МПа,
МПа.
Проверка правильности
вычисления главных напряжений: так как
,
и
– инварианты, значит их значения
постоянны. Ранее были получены их
значения в заданной системе координат.
Сейчас же найдем их значения в главной
системе координат:
МПа;
МПа;
МПа.
Результаты
вычислений
,
и
в рамках допустимых отклонений совпадают
с результатами, полученными в п. 1
решения.
Определяем направляющие косинусы главных площадок. Система уравнений для определения
,
,
имеет следующий вид:
Решение этой
системы:
,
,
.
Условия проверки выполняются:
.
Система уравнений
для определения
,
,
имеет следующий вид:
Решение этой
системы:
,
,
.
Условия проверки выполняются:
.
Система уравнений
для определения
,
,
имеет следующий вид:
Решение этой
системы:
,
,
.
Условия проверки выполняются:
.
3.16 Определить главные напряжения методом Кордано и направления главных напряжений, если напряженное состояние в точке нагруженного тела задано тензором напряжений.
,
где по главной диагонали Ф – число букв в фамилии, И – число букв в имени, О – число букв в отчестве студента.
3.17 Пластинка
под действием главных нормальных
напряжений
и
растягивается по двум взаимно-перпендикулярным
направлениям. Определить нормальное
и касательное напряжение на площадке
с нормалью
.
3.18 Тонкая
пластинка равномерно растягивается
по двум взаимно перпендикулярным
направлениям. Определить нормальные
и касательные напряжения на любой
площадке с нормалью
,
приняв
.
3.19 Тонкая
пластинка в одном направлении сжимается,
в другом растягивается, причем
.
Определить нормальные и касательные
напряжения на площадках, наклонных к
сторонам пластинки под углом
.
3.20 В точке
тела имеется следующая система напряжений
МПа,
МПа.
Определить нормальное, касательное и
полное напряжения на октаэдрических
площадках, проведенную через данную
точку.