9. Применение теории пластичности

Энергетическое условие пластичности может быть представлено в линей­ном виде:

1. тело изотропное

,

где

;

–коэффициент Лоде лежит в пределах от до;

2. тело ортотропное

,

где

;

; .

Интенсивность деформаций (при условии постоянства объема) в случае изотроп­ного тела может быть получена по формуле

или

,

где , , – логарифмические деформации.

Если тело является ортотропным, то

.

При плоском напряженном состоянии физические уравнения имеют вид:

1. тело изотропное

,

.

2. тело ортотропное

,

.

Задачи

1. Стальной толстостенный цилиндр находится под действием внутреннего давле­ния . Определить предел пластического сопротивления, т.е. то наимень­шее давление, при котором весь металл перейдет в пластическое состояние (тело принять изотроп­ным). Для численного решения использовать данные за­дачи 10.7.

2. Определить предел текучести пластического сопротивления стального ци­лин­дра в случае цилиндрической анизотропии. Для численного решения ис­пользовать дан­ные, приведенные в задаче 10.8.

3. В задаче 11.1 изменить условие, считая, что действует и наружное давле­ние . Рассмотреть два случая:и.

4. Нанесенная на свободную поверхность листовой заготовки круглая ячейка делительной сетки диаметром на конечном этапе деформирования превратилась в эллипс, главные диаметры которого соответственно равны;. Использовав уравнение кривой упрочнения, определить главные компоненты напряжения. Процесс деформирования считать монотонным.

Решение. Определим значения главных логарифмических деформаций:

; ;

; ;

.

Интенсивность логарифмических линейных деформаций найдем по формуле

Интенсивность нормальных напряжений рассчитываем по уравнению кривой упрочнения

.

Поскольку сетка нанесена на свободную поверхность, то напряжение, нормальное поверхности листа , является главным и равно нулю. Для определения остальных главных компонент напряжений воспользуемся соотношением Гука – Генки:

; ,

отсюда следует

;

;

;

;

5. На поверхность листа из сплава ОТ4-1 (см. табл.10) была нанесена коорди­натная сетка в виде кругов мм. После деформации листа круги сетки превратились в эл­липсы с размерами главных осеймм имм. Кри­вая истинных напряжений аппроксимируется степенной функцией, гдеи– константы материала. В дан­ном случае, аМПа. Считая, что главные оси деформации совпадают с осями эллипса, определить значение ком­понент напряжений и деформации (принять равным нулю). Как изменяются полу­ченные результаты, если не учитывать анизотропию материала?

6. Известно, что при гидростатическом выпучивании листовых материалов в цен­тре лунки . Провести сравнение интенсивностей деформаций и напряже­ний изотроп­ного материала, трансверсально-изотропного сплава (напри­мер, ОХ18Н9Т) и од­ного из ортотропных листов. Данные по коэффициенту попе­речной деформации взять из таблицы 10.

7. Определить значение коэффициента Лоде для материалов, указан­ных в таб­лице. Рассмотреть случае, когда,,.

8. Тонкостенная труба (мм) из алюминиевого сплава с внешним диамет­роммм подвергалась растяжению и внутреннему давлению так, что все время сохраня­лось следующее равенство между напряжениями:. Деформация проводилась вплоть до конечного осевого напряженияМПа. Принимая материал трансвер­сально-изотропным () и коэффициенты степенной аппроксимации,МПа, определить конечные размеры трубы.

9. Найти связь между напряжениями и деформациями в пластической об­ласти, ко­гда . Рассмотреть три случая:

   1. материал принят изотропным;

   2. тело является трансверсально-изотропным;

   3. среда – ортотропная.

Упрочнение материала аппроксимировано степенной функцией .

10. Длинная толстостенная труба находится под давлением. Определить на­пря­женно-деформированное состояние и размеры трубы после деформации, если известно:

1. внутреннее давление ();

2. внешнее давление ().

Материал трубы (несжимаемый) последовательно принять изотропным, трансвер­сально-изотропным и ортотропным. Упрочнение принять по степенному закону.

11. Определить напряженно-деформированное состояние в длинной толсто­стенной трубе, а также внутреннее давление , если известно изменение ра­диуса. Рассмотреть два случая:и.

Материал трубы принять по условию задачи 11.9. Задачу решить при усло­вии сте­пенного закона упрочнения.

12. Определить напряженно-деформированное состояние в длинной толсто­стенной трубе, а также внешнее давление , если известно, что. Рассмотреть два слу­чая:и.

Материал трубы принять по условию задачи 11.9.

13. Найти остаточные напряжения и закрутку после упругопластического кру­чения прутка круглого поперечного сечения радиусом из идеально упругопла­стического мате­риала на уголпри следующих исходных данных: предел текучестиМПа,рад/м, модуль сдвигаМПа,м,- номер в списке студента в группе,- номер группы.

Решение. Будем считать, что при кручении моментом плоские попереч­ные сече­ния прутка остаются плоскими и за пределом упругости материала. При этом смеж­ные поперечные сечения, отстоящие друг от друга на расстоянии, поворачиваются относи­тельно друг друга на относительный угол

,

где – угол кручения.

Согласно теореме о разгрузке А.А. Ильюшина (рис. 14):

,

где – относительный остаточный угол кручения;

–относительный угол упругой раскрутки.

Рис. 14

Величина угловой деформации равна углу, заключенному между обра­зующей круглого прутка и разверткой винтовой линии:

,

где – текущий радиус.

Напряженное состояние является плоским и осесимметричным, а матрицы тензо­ров напряжений и деформаций имеют вид

, .

При кручении моментом цилиндрического прутка в поперечных сечениях возни­кают только касательные напряжения

.

В случае упругого кручения касательные напряжения максимальны на пе­риферии при и по линейному закону уменьшаются, обращаясь в нуль в центре сече­ния (рис. 15):

Рис. 15

Действуя на кольцевую площадку , они создают элементарный мо­мент относительно оси, равный. Тогда крутящий момент в упругой области ра­вен

,

где – полярный момент инерции для круглого поперечного сечения:

.

При увеличении момента кручения касательное напряжение достигает по усло­вию пластичности Треска-Сен-Венана предельного значения

,

и в поверхностном слое прутка возникает пластическая деформация (рис. 16). При даль­нейшем увеличении пластическая деформация распространяется вглубь. Величину ра­диуса, определяющего границу между упругой и пластической зо­нами, легко найти по формуле

,

откуда

.

Рис. 16

Как видно из рис. 16, периферийные слои находятся в пластическом, а цен­тральные – в упругом состоянии. Касательные напряжения распределены в попе­речном сечении следующим образом:

Крутящий момент складывается из крутящего момента в упругой области и кру­тящего момента в пластической области:

.

После снятия внешнего момента (разгрузки) в прутке возникнут остаточ­ные каса­тельные напряжения

,

вызывающие раскручивание прутка на угол (рис. 17). Момент при упругой раз­грузке равен

.

Из условия равенства суммы моментов нагрузки и разгрузки нулю () находим максимальное касательное напряжение:

,

откуда

.

Таким образом распределение остаточных касательных напряжений имеет вид

при ,

при .

Рис. 17

Из рис. 17 видно, что остаточные касательные напряжения отрицательны на внеш­ней части поперечного сечения прутка и положительны во внутренней.

Угол упругой раскрутки найдем из уравнения

.

Окончательно имеем

.

Остаточный угол кручения

.

11.13 Для толстостенной стальной трубы имеющей внутренний диаметр м и наружный диаметрм, и изготовленный из пластического материала сМПа требуется:

1. Определить внутреннее давление , при котором в материале трубы начнется пластическое течение по критерию максимальных касательных напряжений.

2. Построить эпюры распределения напряжений ипо толщине стенки.

Решение.

1. По формулам из задачи 8.14 определяем давление, при котором на внутренней поверхности трубы появятся пластические деформации:

;

;

, .

.

2. С учетом того, что определяем напряжения, соответствующие началу пластичского течения:

,

.

Данные числовых расчетов сводим в табл. 11:

Таблица 11

Эпюры напряжений иприведены на рис. 18.

Рис.18

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Безухов, Н.И. Примеры и задачи по теории упругости, пластичности и ползучести. Н.И. Безухов. - М.: Высш. шк., 1965. - 320 с.

2. Томсен Э. Механика пластических деформаций при обработке металлов/ Э. Томсен, Ч. Янг, Ш. Кобаяши. - М.: Машиностроение, 1969. - 504 с.

3. Смирнов, В.С. Сборник задач по обработке металлов давлением/ В.С. Смирнов - М.: Металлургия, 1973. - 191 с.

4. Яковлев, С.П. Сборник задач с решениями по курсу "Теория обработки металлов давлением"/ С.П. Яковлев, И.А. Смаригдов, В.Д. Кухарь, П.Л. Макарова. Тульский политехн. ин-т, 1978. - 48 с.

5. Мейз, Д. Теория и задачи механики сплошных сред/ Д. Мейз. - М.: Мир, 1974.318 с.

6. Илюкович, Б.М. Введение в теорию пластичности/ Б.М. Илюкович. - Киев: Высш. шк. 1983. - 160 с.

7. Гунн, Г.Я. Теоретические основы обработки металлов давлением/ Г.Я. Гунн. - М.: Металлургия, 1980. - 456 с.

8. Сторожев, М.В. Теория обработки металлов давлением/ Е.А. Попов. - М.: Машиностроение, 1971. - 424 с.