1.2. Матрица. Свойства и действия над матрицами

Определение. Матрицей (М_mn) называется таблица, состоящая из чисел

, где a_ij – элемент матрицы, i=1…m; j=1…n

m- определяет количество строк, n- количество столбцов. Размерность матрицы записывается как mxn.

Если m=n матрицу называют квадратной: если m≠n матрица называется прямоугольной. Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию a_mn=a_nm, то матрица называется симметричной.

Две матрицы А=иB=считаютсяравными (А=В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т.е. когда (m,n=1,2,3).

Ранг матрицы - это наибольший порядок минора этой матрицы, не равный нулю.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:

Сумма нулевой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: А+0=А.

Матрица особенная, если её определитель равен нулю.

Матрица называется транспонированной к матрице А, если в матрице А взаимно переставлены местами строки и столбцы.

Единичной матрицей называется матрица

Если для матрицы А существует матрица В такая, что произведение А·В есть единичная матрица (А·В=Е), то В называется обратной матрицей и обозначается . Обратная матрица находится по формуле:, где

- алгебраическое дополнение элемента матрицы в ее определителе.

1.2.1. Свойства матриц

1. А·В В·А

2. A·0=0 (0-ноль матрица)

3. A·E=E·A=A

4. (A·B) ·C=A·(B·C)

5. (A+B) ·C=AC+BC, C· (A+B) =CA+CB

6. Если C=AB, то , (|A|,|В|,|C|-определители)

1.2.2. Действия над матрицами

Суммой двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством

Произведением числа m на матрицу A называется матрица, определяемая равенством.

Произведением двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством

ПРИМЕР 2. Найти сумму матриц

ПРИМЕР 3. Найти 2А+5В, если

ПРИМЕР4. Найти произведение матриц, если

Число столбцов матрицы А должно совпадать с числом строк матрицы В.

ПРИМЕР5. Дана матрица .Найти обратную матрицу.

1. Вычислим определитель матрицы А:

2. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

,

т.к. , то

ПРИМЕР 6. Найти

, ,

1.3. Решение системы линейных уравнений

Дана система m линейных уравнений с n неизвестными

Решением этой системы называется совокупность n чисел которые будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система уравнений называетсясовместной,

если она имеет хотя бы одно решение

Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Для нахождения решения системы линейных уравнений используют:

1.Метод Крамера; 2. Метод Гаусса; 3. Матричный метод. Рассмотрим каждый из этих методов.

1.3.1 Метод Крамера

Пусть мы имеем систему линейных уравнений с тремя неизвестными

Вычислим определитель этой системы

1. Если определитель этой системы то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера₃ , ,, где

дополнительные определители

2.Если илиилисистема решения не имеет.

3.Если система имеет бесконечно много решений.

ПРИМЕР 1. Решить систему уравнений

Т.к. определитель система имеет единственное решение.

_{3 3 3}