представлены механические планиметры полярного типа ППМ (Россия), механические планиметры полярного типа фирмы Sokkia КР26, КР27, планиметры механические роликового типа КР46, КР92N, электронные полярного типа PLANIX 5, роликового типа PLANIX 7 и др.

Глава 3 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

§ 19. Виды измерений

Измерения в геодезии являются количественной и качественной основой для изучения Земли, для получения исходной информации при решении всех инженерно-геодезических задач и выполнения топографических работ. Любое измерение выражается количественной характеристикой (величиной угла, длиной линии, превышением, площадью участка местности и т.п.) и имеет качественную сторону, которая характеризует точность полученного результата.

Величины, которые получают в процессе производства геодезических работ, можно классифицировать на измеренные и вычисленные. В первом случае величину получают обычно непосредственно, путем сравнения ее с единицей средства измерения, или косвенно, как функцию двух или нескольких непосредственно измеренных величин. Например, площадь прямоугольника может быть получена как произведение его сторон, измеренных непосредственно.

Под результатом измерения предусматривается конечный результат, который получается в процессе всех произведенных измерений и вычислений. Например, конечным результатом может быть высота точки, ее координаты, площадь участка и т.п.

Результаты измерений в своей группе могут быть равноточными и неравноточными.

Если измерения выполнены прибором одного и того же класса точности, по одной и той же методике (программе), в одинаковых внешних условиях, одним и тем же наблюдателем (либо наблюдателями одной квалификации), то такие измерения относят к равноточным. При несоблюдении хотя бы одного из перечисленных выше условий результаты измерений классифицируют как неравноточные.

Примером равноточных измерений могут являться результаты измерений длины одной и той же линии, либо линий, примерно равных друг другу, полученные при неизменных условиях внешней среды, одним и тем же измерительным средством (прибором), одними и теми же исполнителями работ, по общей для всех результатов измерений программе.

Если в процессе измерений длины линии, например, стальной лентой, изменится температура окружающего воздуха или поверхности грунта, на который укладывается полотно ленты, то это приведет к получению части неравноточных результатов в общей группе результатов измерений, посколь-

66

ку при изменении температуры происходит и изменение длины стальной ленты.

Число измеренных величин и число измерений может быть необходимым

и избыточным.

При измерении, например, углов в треугольнике число необходимых измеренных величин равно двум. Значение третьего угла можно вычислить по сумме двух измеренных углов. Если необходимо решить плоский треугольник, то дополнительно обязательным является знание длины хотя бы одной из сторон, в связи с чем число необходимых измеренных величин должно быть равно трем, при этом одно из измерений – линейное при двух известных углах, либо два линейных измерения и один угол, заключенный между измеренными сторонами треугольника.

Таким образом, числом необходимых измеренных величин является минимально необходимое их число, при котором обеспечивается решение поставленной задачи. Число же измеренных величин, превышающих число необходимых, называется числом избыточных величин. В геодезии принято обязательным получать и избыточные величины, что обеспечивает обнаружение грубых погрешностей и промахов, позволяет повысить точность результатов измерений. Поэтому в треугольнике, например, обязательно измеряют все три угла и сравнивают полученную сумму углов с теоретической.

Если сформулировать задачу с точки обеспечения заданной точности измерений, то необходимое число измерений должно обеспечивать заданную точность измерения одной величины или самого результата измерений. Так, в том же треугольнике каждый из его углов может быть измерен несколько раз. Все избыточные измерения повышают надежность результатов, а также их точность, но в то же время и увеличивают объем работ, и часто прирост увеличения точности становится экономически нецелесообразным из-за большого числа наблюдений. Иногда говорят, что числом необходимых измерений является одно измерение, остальные – избыточные. Это не всегда так, поскольку, как будет показано выше, одно измерение не позволяет производить оценку точности и может содержать не контролируемую грубую погрешность (промах).

§ 20. Классификация погрешностей измерений

Любые измерения, как бы они тщательно не выполнялись, сопровождаются погрешностями, которые представляют собой отклонение результата измерения от истинной его величины.

Отклонения результатов измерения от истинной величины возникают из-за изменения условий измерений. Изменение условий измерений вызывает также изменение характеристик средства измерения, приводит к появлению личных ошибок (погрешностей) самого наблюдателя, колебаниям видимого положения наблюдаемого объекта (точки).

Если результат измерения Х известен точно, то разность между измеренной величиной х и истинным значением

67

называют абсолютной погрешностью.

Отношение абсолютной погрешности к результату измерения называют

относительной погрешностью

Не для любого результата измерения можно определить относительную погрешность. Например, при определении горизонтального угла можно оперировать только абсолютной погрешностью. А величина относительной погрешности в этом случае может быть определена только косвенно, с привлечением результатов линейных измерений, для оценки, например, планового положения точки на земной поверхности в принятой системе прямоугольных координат.

В результате измерений могут появиться грубые погрешности, проявляющиеся в виде промахов и просчетов наблюдателя, из-за незамеченных неисправностей прибора, либо из-за резких изменений внешних условий наблюдений. Результаты грубых измерений обнаруживаются при повторных измерениях, отбраковываются и заменяются новыми. Как будет показано выше, критерием отбраковки грубых результатов может явиться и величина установленной для данного вида работ предельной погрешности измерений.

Особое место при геодезических измерениях занимают систематические и случайные погрешности.

Внешние условия измерений, изменение характеристик измерительного средства могут вызвать появление погрешностей одностороннего (одного знака) или знакопеременного вида – систематических погрешностей.

Систематические погрешности являются весьма опасными при измерениях, поскольку для их учета надо знать чаще всего изменение характеристик измерительного средства, как внутреннего свойства, определяемых конструкцией прибора и технологией его изготовления, так и при воздействии внешних условий. Например, длина мерной ленты из стального полотна при температуре t1оС равна L1 , а при изменении температуры до t2оC она станет равной L2 . Если не учитывать изменение температуры (т.е. не определять ее в момент измерений), то наблюдатель при температуре t2оC будет пользоваться прежним значением длины ленты L1 , что и даст в результатах измерений систематическую погрешность величиной (L1 - L2 ) n, где n – число укладок ленты в измеряемой линии.

Часто систематические погрешности исключают особыми приемами в работе (в рассмотренном выше случае – введением поправок на изменение длины ленты из-за изменения температуры), устанавливают в результате исследования особенности работы прибора, выполняют работы по специальной методике, при которой систематические погрешности исключаются полностью, либо действие их значительно ослабляется. В некоторых случаях полное исключение систематических погрешностей является практически неосуществимым, в связи с чем проводят специальные исследования с целью

68

установления закона изменения систематических погрешностей и введения поправок в результаты измерений.

Источниками случайных погрешностей в измерениях являются неподдающиеся учету мгновенные изменения (флуктуации) внешних условий, которые приводят к неопределенности в каждый момент времени в видимом положении наблюдаемой цели, к относительно мгновенным изменениям характеристик прибора, погрешностям считывания по шкалам прибора и устройств, устанавливаемых на цели и др. По своей величине каждая из составляющих случайных погрешностей является малой, однако в некоторых случаях их совместное действие может быть существенным. В первом приближении случайную погрешность можно определить как разность результата измерения и истинного значения, если в измеренной величине отсутствует грубая погрешность и учтена погрешность систематическая.

§ 21. Свойства случайных погрешностей

Группа случайных погрешностей измерения одной и той же величины подчиняется нормальному закону распределения.

Рассмотрим ряд случайных погрешностей, определяемых как отклонение результата измерения хi одной и той же величины, свободного от грубых и систематических погрешностей, от истинного значения Х:

На основании теоретических и опытных данных установлены следующие свойства ряда случайных погрешностей.

Свойство 1. При выполнении измерений одной величины равновероятно появление случайных погрешностей, равных по величине, но противоположных по знаку.

Свойство 2. Малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.

Свойство 3. При неизменных условиях измерений случайные погрешности не превосходят по абсолютной величине известного предела:

Свойство 4. При большом числе измерений среднее арифметическое из

Здесь и в дальнейшем квадратные скобки [...] являются символом суммы (символ введен Гауссом).

§ 22. Среднее арифметическое

Как уже говорилось выше, погрешность измерения представляет собой разность между самим результатом измерения хi и его истинным значением Х, определяемую по формуле (3.3).

69

Если результат измерения заранее известен, то, казалось бы, зачем производить измерения? Однако такие действия часто приходится выполнять. Например, при проверке правильности работы или показаний прибора по эталону. Да и при самих непосредственных измерениях, например, углов в треугольнике, сумма углов треугольника (или многоугольника) является эталоном, известной величиной.

В основном результаты измерений заранее неизвестны. Что же представляет собой погрешность измерений в этом случае, и каким образом можно ее определить?

Рассмотрим ряд измерений одной и той же величины Х для случая, когда число измерений весьма большое (n → ∞). Составим ряд истинных погрешностей измерений, полагая, что измеряемая величина нам известна.

Сложим все разности в правых и левых частях формул (3.3) и разделим полученные результаты на n, получим

В соответствии со свойствами случайных погрешностей отношение [Δ]/n стремится к нулю при n → ∞ . Отношение [х]/n = хо называется средним

т.е. среднее арифметическое из результатов измерений при возрастании числа измерений стремится к истинному значению.

Таким образом, при определении погрешностей измерений с какой-то долей надежности (зависящей от числа измерений) можно использовать величину среднего арифметического вместо истинного значения измеряемой величины. В этом случае истинные погрешности будут являться уклонени-

В теории погрешностей измерений доказано, что ряд уклонений vi от арифметического среднего также подчиняется нормальному закону распределения и обладает всеми свойствами случайных погрешностей.

§ 23. Средняя квадратическая погрешность

Средняя квадратическая погрешность (СКП) является мерой точности результатов измерений, либо функций измеренных величин, и является вероятностной характеристикой.

Предположим, что нам известно значение средней квадратической погрешности m. В соответствии с нормальным законом распределения график распределения истинных погрешностей по виду будет подобен графику рис. 3.1. Параметр r характеризует частоту (или частость) появления случайных погрешностей той или иной величины и знака. При этом вероятность появления погрешностей в заданном наперед диапазоне, например, ±Δ, определяется площадью фигуры, ограниченной кривой распределения и отрез-

70

ками ординат при значениях + и − . Для нормального закона распределения вероятность появления погрешностей в установленных диапазонах равна следующим значениям :

для диапазона ±Δ → Р = 68,3% (≈ 68%); для диапазона ±2Δ→ Р = 95,5% (≈ 95%);

для диапазона ±3Δ→ Р = 99,7% (практически 100%).

коэффициентом t (коэффициент Стьюдента), который и определяет доверительный вероятностный интервал (х ± tm) результата измерений при установленном уровне вероятности Р. Для этого удобно пользоваться табл. 3.1.

Например, необходимо определить доверительный интервал для величины Х с вероятностью 75%. По таблице интерполированием находим, что для

Р1 = 72,9 t1 = 1,1, для Р2 = 77,0 t2 = 1,2: tх ≈ 1,15.

Это значит, что результат измерений с вероятностью 75% находится в

Если измеряемая величина Х известна, то значение СКП определяется по

71

Для случаев, когда измеряемая величина неизвестна, используется

формула Бесселя:

где v - уклонения результатов измерений от среднего арифметического.

Как видно из формул (3.9) и (3.10), в случае, когда измеряемая величина известна, для оценки точности достаточно уже одного измерения (оно и является необходимым). Как уже указывалось выше, чаще всего формулу Гаусса используют при оценках точности эталонируемых приборов при измерении известных величин (эталонов). Для оценки точности по формуле Бесселя необходимыми являются как минимум два измерения. Формула Бесселя используется при оценках точности результатов массовых (многократных) измерений одной величины.

При возрастании числа измерений значения СКП, полученные по формулам Гаусса и Бесселя, становятся практически одинаковыми (примерно с n ³ 20). При этом значение СКП одного измерения стремится к пределу mпред, который определяется точностью прибора, точностью метода или программы измерений. Очевидно, что на практике невозможно, да и нецелесообразно по ряду причин, обеспечивать весьма большое число измерений одной величины. При этом практическое число измерений должно обеспечивать получение результата измерения с заданной точностью при установленном уровне доверительной вероятности.

Поскольку число измерений является ограниченным, то сама СКП содержит погрешность, определяемую по приближенной формуле:

§ 24. Средние квадратические погрешности функций измеренных величин

В § 23 рассмотрены средние квадратические погрешности непосредственно измеренных величин. Чаще всего сами непосредственно измеренные величины используются в различных формулах, результатом вычисления по которым являются косвенные величины. Например, площадь прямоугольника, как косвенная величина, может быть определена как произведение сторон прямоугольника, полученных при измерениях непосредственно. Оценку точности площади в этом случае необходимо производить с учетом погрешностей в измерениях его сторон.

Предположим, что имеется функция F аргументов х1 , х2 , ... , хn:

F = f (x1, х2, …, хn). (3.12) Величины хi известны из непосредственных измерений, а также известны

и их СКП: m1 , m2 , ... , mn . В этом случае СКП функции определяется по следующей формуле:

72

где (∂f/∂хi) - частная производная функции по аргументу хi . Правила определения СКП функций следующие.

1.Выполнить последовательно дифференцирование функции отдельно по каждому из аргументов, считая остальные аргументы постоянными числами (коэффициентами).

2.Полученные выражения умножить на СКП аргументов, по которым производилось дифференцирование функции и возвести полученные выражения каждое отдельно в квадрат.

3.Записать полученные выражения в виде суммы под знаком квадратного корня.

Рассмотрим несколько примеров определения СКП функций.

Пример 3.1. Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического. Очевидно, что значение среднего арифметического является функцией суммы

измеренных величин хi (3.1). Представим это выражение в виде

хо = (х1 + х2 + … + хn ) / n (3.14) Поскольку 1/n является постоянным коэффициентом, то при почленном

дифференцировании и после умножения на mi и возведения в квадрат пролучим:

Т.е. СКП среднего арифметического в корень из числа измерений меньше СКП одного измерения.

С учетом (3.10)

Очевидно, что, если при увеличении числа измерений значение СКП одного измерения стремится к предельному значению, отличному от нуля, то значение СКП среднего арифметического стремится при увеличении числа измерений к нулю, а само среднее арифметическое – к истинному значению.

где h – высота пирамиды, а и b – стороны основания.

Требуется определить СКП объема пирамиды, вычисленного по формуле (3.19), если известно, что h = 12,34 м, а = 23,46 м, b = 39,63 м и их СКП равны соответственно: mh = 0,07 м, ma = 0,02 м, mb = =0,04 м.

Решение.

Выполняем последовательное дифференцирование по аргументам h, a и b:

73

-по аргументу b: ∂¶Vb = ah3 mb .

Возводим в квадрат полученные части и записываем в виде суммы в подкоренном выражении:

Формулу (3.20) можно преобразовать к следующему виду. Разделим правую и левую части соответственно на ( h a b) и V, получим

1

Относительная СКП определения объема равна δV = 7,42 /1274,75 = 0,00582 = 1718 .

Выполним проверку значения δV по формуле (3.22). Относительные СКП аргументов равны:

δh = 0,07 : 12,34 = 0,00567, δa = 0,02 : 23,46 = 0,00085, δb = 0,04 : 39,63 = 0,00101.

После подстановки в формулу (3.22) получим δV = 0,00582, что совпадает с предыдущим результатом.

Пример 3.3. Сторона а треугольника определена по теореме синусов по значению стороны b и двум углам треугольника А и В:

Известно: b = 140,12 м (δb = 1 : 2000; mb = 140,12 : 2000 = 0,07 м), А = 73о18,8' (mА = 0,4'), В = 63о05,6' (mВ = 0,3').

Необходимо определить СКП стороны а.

Решение.

Вычисление стороны а производится по формуле

где ρ' = 3438′ (число минут в радиане; для выражения угловой меры СКП угла в меру радианную);

- для аргумента В: (b mB sin A cos B / ρ' sin2 B)2. Следовательно,

После подстановки значений аргументов получим: mа= 0,096 м.

74

Как показывают данные расчетов, большее влияние на погрешность стороны а оказывает первый в записи член, определяемый погрешностью аргумента b. Двумя другими членами общего выражения для погрешности стороны а практически можно пренебречь. Однако следует иметь ввиду и то, что малое влияние второго и третьего членов подкоренного выражения обусловлено сравнительно малой погрешностью измерения углов по сравнению с погрешностью измерения стороны b. Следовательно, в рассмотренном случае углы можно измерять с большей погрешностью, чем это было выполнено по условиям задачи.

Значение стороны а, вычисленное по формуле (3.23), равно 189,81 м. Относительная погрешность стороны а будет равна δа = ma / а = 0,096 / 189,81 = 1:1977, т.е. практически она равна относительной погрешности измерения стороны b.

§ 25. Обработка ряда равноточных измерений одной величины

Порядок обработки результатов равноточных измерений следующий.

1.Вычислить среднее арифметическое хо по формуле (3.14).

2.Получить ряд уклонений результатов измерений от среднего арифметического по формуле (3.8).

3.Проконтролировать сумму уклонений.

Сумма уклонений результатов измерений от среднего арифметического должна быть равна нулю, т.е. [v] = 0. В значении среднего арифметического для начальной обработки следует оставлять после запятой на один знак больше, чем в результатах измерений. При этом, из-за возможного округления среднего арифметического, сумма уклонений может незначительно отличаться от нуля.

4.Составить ряд квадратов уклонений v2 и получить сумму квадратов уклонений [v2].

5.Вычислить среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле (3.10).

6.Вычислить погрешность средней квадратической погрешности по формуле (3.11);

7.Вычислить среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического по формулам (3.17) или (3.18).

8.Произвести округление результатов в соответствии со значением СКП среднего арифметического и записать окончательное значение измеренной величины с ее доверительным интервалом (для заданной доверительной вероятности).

Втабл. 3.2 приведен пример обработки результатов измерений линии, измеренной на местности рулеткой с миллиметровыми делениями.

Пример 3.4. Обработка ряда равноточных измерений одной величины

Решение.

СКП одного измерения: m = 0,004645 м. Погрешность СКП одного измерения: mm= 0,000519 м. СКП среднего арифметического: М = 0,00073 м.

На основании значения mm величину m можно округлить до m = 0,005 м.

75

Значение среднего арифметического округлять здесь не следует, поскольку разряд округления и значение погрешности среднего арифметического (М = 0,0007 м) – одного порядка.

С учетом данных табл. 9 можно записать значение измеренной величины в виде доверительного интервала ±tM с заданной вероятностью Р:

Х(Р=68,3%) = (83,6619 ± 0,0007) м Х(Р=95,5%) = (83,6619 ± 0,0014) м

Х(Р=99,7%) = (83,6619 ± 0,0021) м Запись, например, для Х(Р=95,5%) расшифровывается так: с вероятностью 95,5%

величина Х находится в интервале 83,6612 м < Х < 83,6626 м .

Проконтролируем ряд значений хi, приведенный в табл. 3.2, на соответствие нормальному закону распределения. Найдем для этого число измерений, которые находятся в

соответствует вероятности Р = 68,3% для нормального закона распределения. Отклонение объясняется ограниченным числом измерений.

76

§ 26. Об учете систематических погрешностей в измерениях

Выше говорилось о сложностях выявления и учета систематических погрешностей в результатах измерений. Во многих случаях приходится специально исследовать влияние систематических погрешностей, либо совершенствовать методику или программу измерений с целью их исключения или ослабления.

Далее мы рассмотрим простейший случай выявления и учета указанных погрешностей при выполнении эталонирования измерительного прибора, т.е. при определении точности работы прибора. Заметим, что в этом случае измеряемая величина известна, и значение СКП следует определять по формуле (3.9). Кроме того, считаем, что систематическая погрешность постоянна по величине и знаку во всем диапазоне значений результатов измерений.

Если результаты измерений содержат систематическую погрешность сист, то, очевидно, и значение среднего арифметического хо′ исследуемого ряда хi

Таким образом, истинные погрешности результатов измерений будут со-

Предположим, что нами установлена величина систематической погрешности, тогда в ряду общей погрешности ее можно исключить и образовать

обработка которого выполняется по алгоритму, приведенному в примере 3.4. В табл. 3.3 приведен пример обработки результатов геодезических измерений (измерение горизонтального угла), содержащих систематическую по-

грешность.

Пример 3.5. Обработка результатов измерения горизонтального угла βо = 63º47'30" теодолитом Т2, содержащих систематическую погрешность.

Решение.

Вычисляем среднее значение горизонтального угла по результатам произведенных измерений: βо´ = [βi´] /n = 63º 47' 34,3".

Систематическая погрешность определяется разностью сист = (βо´ - βо) = + 4,3". Исключаем из результатов измерений систематическую погрешность: βi = (βi´ - сист). Образуем ряд случайных погрешностей сл = (βi - βо) и возведем их значения в

квадрат.

Получим сумму квадратов уклонений от истинного значения: [Δсл2] = 23,43. Поскольку измеряемая величина была известна, то для определения СКП результата

77