II. Содержание расчетно-графической работы
Точка М движется в плоскости XОY. Закон движения точки задан координатным способом, уравнениями:
x = f1(t); y = f2(t),
где x и yвыражены в сантиметрах, времяt– в секундах.
Требуется:
Найти уравнение траектории движения точки в декартовых координатах и построить эту траекторию графически.
Определить скорость точки по величине и по направлению в функции времени.
Найти уравнение годографа скорости и построить его график.
Определить полное ускорение точки по величине и направлению в функции от времени.
Найти тангенциальное и нормальное ускорения точки в функции от времени.
Определить радиус кривизны траектории как функцию от времени (для любой точки траектории).
Определить начальное положение точки и направление ее движения в зависимости от времени.
Для заданных значений времени t1 и t2 найти численные значения всех кинематических характеристик, определенных ранее в общем виде как функции от времени (t). Все расчетные значения свести в таблицу следующего вида:
|
|
Vx |
Vy |
Wx |
Wy |
cosα |
cosβ |
cosα1 |
cosβ1 |
Wτ |
Wn |
W |
p |
0 |
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Построить центры кривизны траектории для значений t1 и t2и проверить полученные значения радиусов кривизны по формулам:
(10),
где
или
(11)
где
10.На графическом изображении траектории точки показать:
а) начальное положение точки (t=0)и направление ее движения;
б) положение точки при t= t1 и t= t2;
в) изобразить
графически в масштабе
,
,
и
приt= t1
и t= t2.
III. Пример выполнения работы.
Даны уравнения движения точки в плоскости XОY:
1.Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t1используя тригонометрическую формулу двойного углаcos2α=1-2sin2α. Тогда:
В результате получим:
Проведя преобразования, получаем следующее уравнение траектории точки (параболы):
Х=(у+1)2+1.
Графическое изображение этой параболы-траектории показано на рис.1.
2. Скорость точки определяется в соответствии с формулами (2;4)
(12)
(13)
(13а)
рис.1 Траектория движения точки
3. Используя выражения (12), найдем уравнение годографа скорости.
тогда:
Окончательное уравнение годографа скорости примет вид:
График годографа скорости представляет фигуру Лиссажу с двумя петлями, расположенными симметрично по отношению к началу осей координат VхиVу(рис.2).
рис.2 Годограф скорости
4. Ускорение точки определяется по формулам (3.5):
(14)
(14а)
5. Касательное (тангенциальное) ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство (13):
(15)
Определив полное (14) и тангенциальное ускорение точки, определяем нормальное ускорение по формуле (8):
6. Радиус кривизны траектории точки определится из выражения (7):
7. При t=0 исходные уравнения определяют начальное положение точки.
С увеличением tот 0 до 2 с,xувеличивается до 3, аyувеличивается до 0,41, т.е. точка движется по верхней части параболы. Максимальное значениеx достигает приt=4 и равно 5, аy=1. При этом точка меняет направление движения и далее колеблется на изображенном графике параболы (рис.1). Минимальное значениеy=-3 принимает приt=12, при этомxснова достигает своего максимального значения 5. Таким образом, 1≤x≤5; -3≤y≤1.
9. Для момента времени t=1, определяем численные значения всех найденных величин:
x1=1,586;y1=-0,234.
Проверка.
Проверим полученное значение радиуса кривизны траектории точки при t=1 по формуле (11), используя уравнение траектории точкиx=(y+1)2+1.
Тогда:
Значение радиуса кривизны траектории при t=1 определено правильно.