I. Основные понятия и определения.

К кинематическим характеристикам движения точки относятся: закон движения, заданный тем или иным способом, траектория точки, скорость и ускорение точки, радиус кривизны траектории в заданной точке, годограф скорости и др.

Траекторией точкиназывается линия, описываемая движущейся точкой в пространстве. Траектория может быть плоской или пространственной кривой (в частном случае прямой линией), замкнутой или уходящей в бесконечность.

Движение точки в пространстве определяется заданием закона движения. Закон (уравнения) движения точки устанавливает местоположение точки в пространстве в зависимости от времени. Другими словами, зная закон движения, можно определить положение точки в пространстве в любой момент времени.

При координатном способе задания движения перемещение точки изучается по отношению к декартовой системе координат OXYZ, условно принимаемой за неподвижную. Собственно закон движения некоторой точки М задается тремя функциями (для пространственной траектории):

x = f₁(t); y = f₂(t); z = f₃(t) (1)

или двух функций (для плоской траектории):

x = f₁(t); y = f₂(t) (1^*)

Выражение (1) и (1^*) представляют собой одновременно и параметрические уравнения траектории точки. Для получения уравнений траектории в явном виде из выражений (1) и (1^*) необходимо исключить время (t).

Вектор скоростиявляется мерой, характеризующей быстроту изменения положения точки.Вектор ускоренияточкихарактеризует быстроту изменения вектора скорости. Таким образом,скорость точки– производная от перемещения по времени, аускорение– производная от скорости по времени или вторая производная от перемещения от времени. Если закон движения точки определен уравнениями в декартовых координатах, то векторы скорости и ускорения определяются по их проекциям на оси декартовых координат. Так при плоской траектории движения:

(2)

(3)

Модули и направляющие косинусы векторов скорости и ускорения в этом случае определяются выражениями:

(4)(5)

Если проекция скорости на ось положительна, то точка движется в направлении увеличивающихся значений данной координаты.

Для получения уравнения годографа скорости в декартовых координатах исключим из уравнений (2) параметр времени (t).График годографа скорости строится на осяхV_x иV_y (x;y) и является геометрическим местом точек, характеризующих возможные значения скорости в зависимости от времени (в сущности, это – линия, описываемая концом вектора скорости при неподвижном его начале).

Полное ускорение точки при плоском криволинейном движении и при использовании естественного способа задания движения точки складывается из двух взаимно перпендикулярных составляющих векторов:

-касательного (тангенциального) ускорения,направленного по касательной к траектории движения;

-нормального ускорения,направленного по главной нормали к центру кривизны траектории на данном участке.

Касательное ускорениехарактеризует изменение скорости по величине (модулю) и равно производной от численной величины скорости по времени:

(6)

Это ускорение равно нулю, если V=const. Кроме того, оно обращается в нуль, если скорость достигает экстремальных значений.

Нормальное ускорениехарактеризует изменение вектора скорости по направлению и определяется формулой:

(7)

где р– радиус кривизны траектории в данной точке.

Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении точки, а также в точках перегиба траектории и в точках, где V=0.

Таким образом, полное ускорение точки как по модулю, так и по направлению может определяться по формулам (5), а также как сумма векторови:

(8)

Если направление исовпадают, то движение точки ускоренное, если не совпадают – замедленное. При=constдвижение точки называется равнопеременным.Радиус кривизны траектории рв любой точке определяется из выражения (7):

(9)