3.2 Передаточные функции

Передаточной функцией элемента САР называют отношение изображений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых начальных условиях. Поэтому для определения передаточной функции элемента вначале необходимо преобразовать по Лапласу при нулевых начальных условиях дифференциальное уравнение этого элемента.

Подвергнем преобразованию Лапласа при нулевых начальных условиях левую и правую часть уравнения (3.3):

(3.11)

где Y = Y(s), U = U(s), V = V(s) – изображения по Лапласу функций времени y(t), u(t), v(t); ;s – комплексная величина.

Уравнение (3.11) является алгебраическим. Его также называют операторным. Анализ типичного уравнения (3.11) показывает, что:

— для стационарных объектов с сосредоточенными параметрами (мы будем рассматривать только такие объекты) передаточная функция — это дробно-рациональная функциякомплексной переменной ;

— знаменательпередаточной функции — этохарактеристический полиномсистемы.Полюсыпередаточной функции — это корни соответствующего характеристического полинома;

— в физически реализуемых системахпорядокчислителяпередаточной функциине может превышать порядка её знаменателя;

— импульсная переходная функцияпредставляет собой оригинал (преобразование Лапласа) для передаточной функции.

Из сопоставления уравнений (3.11) и (3.3) можно сделать следующий вывод:

формально преобразование по Лапласу при нулевых начальных условиях линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами заключается в замене оператора дифференцирования p комплексной величиной s и функций времени их изображениями.

Из (3.11), положив V = 0 получим передаточную функцию рассматриваемого элемента относительно задающего (входного) воздействия u:

(3.12)

Из (3.11), положив U = 0 получим передаточную функцию рассматриваемого элемента относительно входного воздействия v:

. (3.13)

Из выражений (3.12) и (3.13) видно, что передаточные функции элементов независимы от того, какими функциями времени являются его входные воздействия (инвариантны входному воздействию).

Передаточные функции зависят лишь от вида (порядка) дифференциального уравнения и от значения параметров элементов (коэффициентов) дифференциального уравнения. Передаточные функции, вместе с тем, полностью характеризуют преобразование входных воздействий в вынужденное движение элемента. Они позволяют определить его временные и частотные характеристики.

На основании выражений (3.12) и (3.13) можно записать:

(3.14)

Наиболее полной характеристикой качества системы регулирования является ошибка Поскольку в соответствии с (3.14) для входного (задающего) воздействияа

то можно записать

.

При нормировании относительно входного воздействия получим

(3.15)

Числовыми показателями качества передаточной функции в установившемся режиме являются коэффициенты ошибок, которые определяют следующим образом. Установившуюся ошибку на выходе САР можно представить в виде ряда

где

Здесь - передаточная функция САР, а коэффициентыназывают коэффициентами ошибки по задающему воздействию. Первые три коэффициентаимеют названия:

- коэффициент позиционной ошибки (ошибки по задающему воздействию),

- коэффициент ошибки по скорости (ошибки по первой производной задающего воздействия),

- коэффициент ошибки по ускорению (ошибки по второй производной задающего воздействия).

Установившаяся ошибка при постоянном внешнем (входном) воздействии называется статической ошибкой.

САР называют статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если статическая ошибка равна нулю.

Говорят, что астатическая система относительно задающего воздействия обладает астатизмом r-го порядка, если

Усилительный каскад на ОУ является статической САР с конечной ошибкой по входному воздействию:

и

.

Кроме того, передаточные функции используют при составлении структурных схем элементов и систем.

Структурная схема есть условное графическое изображение элемента или системы, которое дает наглядное представление об их строении и позволяет составить математическое описание – совокупность алгебраических уравнений, связывающих изображения всех переменных.

Структурную схему САР составляют на основании ее функциональной схемы и дифференциальных уравнений ее элементов. Функциональная схема содержит сведения о назначении элементов и о том, какая физическая величина является регулируемой, какое из внешних воздействий задающее, а какое возмущающее (помеховое).