КИС_Лекции / Глава 4
.pdfГлава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ
____________________________________________________________________________________
Первый корень γo = 0 |
определяет |
решение |
(4.10.5) в режиме стационарного |
|
равновесия: C(0,0) = [0], |
C(0,x) = [x]. Последующие корни при γk ≠0 находятся из |
|||
равенства |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
∑C(k, x) = 0, |
k =1,...V , |
(4.10.8) |
||
x =0 |
|
|
|
|
причем вследствие (4.10.6) C(k,x) образуют рекуррентную последовательность |
||||
C(k, x) = (λx −1 + μx −1 +γk )C(k, x −1) − λx −2C(k, x −2) , |
k =1,...V , x =1,...V , (4.10.9) |
|||
|
μx |
|
|
|
где μo = λ -1= C(k,-1) = |
0. |
Подбором γk |
из (4.10.9) при начальном приближении |
|
C*(k,0)=1 итерационно вычисляются C*(k,x), k=1,...V, х=0,...V, отличающиеся от C(k,x)
постоянным множителем Ak, добиваясь выполнения равенства (4.10.8).
Истинные |
значения C(k,x) = Ak C*(k,x), k=1,...V |
получаем из решения системы |
||||
линейных уравнений вида Iv |
= Ak C*(k,x) относительно Ak , k=0,…V, где Iv = | ix| – |
|||||
матрица исходного состояния пучка, |
|
|
|
|||
|
|
C * ( 0,0 ) |
C * (1,0 ) |
. . . C * (V ,0 ) |
|
|
C *(k, x) = |
|
C * ( 0,1) |
C * (1,1) |
. . . C * (V ,1) |
– |
матрица коэффициентов, |
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
C * ( 0,V ) |
C * (1,V ) |
. . . C * (V ,V ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ak = | Ak| – искомая матрица постоянных коэффициентов.
Например, если переходный процесс начинается с состояния {0}, то в матрице IV принимаем i0 = 1, i1=i2 = . . . iV =0 и, пользуясь формулой Крамера, находим
|
|
C * (0,0) |
C * (1,0). |
. |
. |
1 . |
. |
.C * (V ,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
C * (0,1) |
C * (1,1) . |
. |
. |
0 . |
. |
.C * (V ,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
||
Ak = |
|
C * (0,V ) |
C * (1,V ) |
. |
. |
.0 . |
. |
.C * (V ,V ) |
|
|
, |
k=0,...V. (4.10.10) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
C * (0,0) |
C * (1,0). |
. |
.C * (k ,0) . |
. |
.C * (V ,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
C * (0,1) |
C * (1,1) . |
. |
.C * (k ,1) . |
. |
.C * (V ,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C * (0,V ) |
C * (1,V ) . |
. |
.C * (k ,V ) |
. |
. .C * (V ,V ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Стационарная вероятность состояния {х} , |
х = 0,…V пучка в |
режиме рождения |
||||||||||
и гибели – C(0,x)=[x]. Графики зависимости px (t) |
приведены на рис. 4.27. |
|||||||||||
257
Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ
________________________________________________________________________
1.0
[2] |
P2 (t) |
|
[1] |
P1 (t) |
|
|
. . . |
|
[V] |
pV (t) |
|
[0] |
P0 (t) |
|
|
|
t |
|
Рис. 4.27. Переходные вероятности процесса рождения и гибели |
|
ЗАДАЧА 2. На полнодоступный 3-линейный пучок, находящийся в момент времени t = 0 в состоянии {0}, начинает поступать примитивный поток вызовов от N = V источников нагрузки с параметром свободного источника α = 2 час -1. Время обслуживания вызова распределено по экспоненциальному закону с параметром μ = 20 час -1 . Определить время Т, при котором с вероятностью не менее 0,99 процесс обслуживания вызовов можно считать стационарным.
Решение.
Подставляя значения α = 2 ч -1, μ = 20 ч -1, V = 3 в (4.10.9) и пользуясь (4.10.8), находим корни γ1 = -22,0 ч -1, γ2 = -44,1 ч -1, γ3 = -66,1 ч -1 и коэффициенты :
p 0 ( t ) = 1 . 00 + 1 . 00 e p 1 ( t ) = 0 . 300 − 0 . 800 e
−22 . 0 t
−22 . 0 t
+1 . 00 e
−1 . 904 e
−44 . 1 t
−44 .1 t
+1 . 00 e − 66 . 1 t ;
−3 . 005 e − 66 . 1 t ;
p 2 ( t ) |
= |
0 . 030 |
− 0 . 189 |
e |
p 3 ( t ) |
= |
0 . 001 |
− 0 . 011 |
e |
−22 . 0 t
−22 . 0 t
+0 . 807 e
+0 . 097 e
−44 . 1 t
−44 . 1 t
+3 . 013 e − 66 . 1 t ;
−1 . 008 e − 66 . 1 t .
Для нахождения постоянных коэффициентов привлекаем (4.10.10)
p0 (t ) = 0. 7 5 1 4 + 0.2 2 5 2 e − 2 2 . 0 t |
+ 0.0 2 2 9 e − 4 4 .1 t |
p ( t ) = 0.2 2 5 4 − 0.1 8 0 2 e − 2 2 . 0 t |
− 0.0 4 3 7 e − 4 4 .1 t |
1 |
|
p2 ( t ) = 0 .0 2 2 5 − 0 .0 4 2 5 e − 2 2 . 0 t |
+ 0 .0 1 8 5 e − 4 4 .1 t |
p 3 ( t ) = 0 . 0007 − 0 . 0025 e − 22 . 0 t |
+ 0 . 0023 e − 44 . 1 t |
По условию задачи процесс можно считать стационарным, если p0(t) 9,0 минут.
+0.0 0 0 5 e − 6 6 .1t ;
−0.0 0 1 5 e − 6 6 .1 t ;
+ 0 .0 0 1 5 e − 6 6 .1 t ;
− 0 . 0005 e − 66 . 1 t .
– [0] < 0.01, что выполняется при t > 0,15 ч =
4.10.3.Процесс гибели
Смомента прибытия ремонтно-восстановительной бригады на необслуживаемый узел (например, маршрутизатор) начинается процесс устранения неисправностей с одновременным появлением новых неисправностей – процесс рождения и гибели. Этот процесс, как показано выше, описывается достаточно сложными дифференциальными уравнениями. Однако, если за короткое время восстановления пренебречь достаточно малой вероятностью возникновения новых неисправностей, ситуация сводится к значительно более простому процессу – процессу гибели.
Диаграмма переходов Марковского процесса гибели, описывающая процесс устранения неисправностей ремонтно-восстановительной бригадой на необслуживаемом узле, изображена на рис. 4.28 и описывается следующей системой дифференциальных уравнений
0 |
1 |
. . . |
X |
. . . |
V |
μ1 |
μ2 |
|
μx |
μx+1 |
μV |
Рис. 4.28. Диаграмма переходов процесса гибели
258
Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ
____________________________________________________________________________________
dp0 (t) |
|
|
= μ |
1 |
p (t), |
x = 0, |
|
|
|
|
|||||||
dt |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dpx (t) |
|
|
= −μx px (t) + μx+1 px+1 , |
x =1,...V −1, |
(4.10.11) |
|||
dt |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dpV (t) |
= −μ |
p (t), |
x =V. |
|
||||
|
|
|||||||
dt |
|
|
|
|
|
V V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая тривиально получается из системы дифференциальных уравнений рождения и гибели с учетом того, что λx = 0, x=0,...V (V – число неисправных элементов).
Система (4.10.11) имеет единственное решение при заданном исходном состоянии пучка и решается аналогично системе процесса рождения. Пусть исходное состояние пучка – {V}, тогда вероятность pV-x(t) достижения пучка состояния {V-x} за время t для примитивного потока (в случае одновременного устранения неисправностей V ремонтно-восстановительными бригадами, μ – интенсивность восстановления неисправности одной ремонтно-восстановительной бригадой)
C x (eμ t −1)x e−Vμ t , |
x = 0,...V −1, |
V |
|
pV-x(t) = |
|
−μ t |
V |
(4.10.12) |
|
(1− e |
x =V , |
||
|
|
) , |
а для простейшего потока вызовов (в случае устранения неисправностей одной ремонтно-восстановительной бригадой, μ – интенсивность восстановления неисправности одной ремонтно-восстановительной бригадой)
|
|
(μ t)x |
e−μ t |
, |
x = 0,...V −1, |
|
p V-x (t) = |
|
x! |
||||
|
|
|
(4.10.13) |
|||
1− ∑(μ t) |
i |
|||||
|
x =V. |
|||||
|
e−μ t , |
|||||
|
|
V −1 |
|
|
|
|
i=0 i!
Выражения (4.10.12) и (4.10.13) могут быть использованы и для случая, когда процесс рождения начинается с произвольного состояния k, k=0,...V. В этом случае следует заменить pk (t) на pV (t), pk-1(t) на pV-1 (t) и т. д.
Стационарное состояние пучка процесса гибели – {0}. Графики зависимости p V-x (t) приведены на рис. 4.29.
1.0
PV (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p0 (t) |
PV-1 |
(t) |
|
PV-2 |
(t) |
|
|
|
P1 (t) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
. . . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t
Рис. 4.29. Вероятности процесса гибели
259
Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ
________________________________________________________________________
ЗАДАЧА 3. В сети неисправно 2 маршрутизатора. Время устранения неисправности в одном маршрутизаторе с учетом прибытия ремонтно-восстановительной бригады – Т = 1,5 часа. Определить время восстановления двух маршрутизаторов одной бригадой с вероятностью не менее 0,99.
Решение.
Интенсивность восстановления r = T-1 = 0,66 час -1.
Используя (4.10.13), убеждаемся, что p0 ( t ) = 1 − e − r t − r t e − r t > 0.9 9 при t > 10,2 час.
260