КИС_Лекции / Глава 4

Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ

____________________________________________________________________________________

ЗАДАЧА 1. Сеть оператора связана с сетью Интернет интерфейсом со скоростью VEL=8 Мбит/с = 1 Мбайт/с. Средняя длина пакета LEN=500 байт. Оператор желает обеспечить среднюю задержку прохождения пакетов по интерфейсу не более tе=5 мс. Какой параметр потока должен быть оговорен в SLA, чтобы провайдер услуг мог бы обеспечить требования оператора ?

Решение.

te=0.005, μ=2000 c-1, находим λ=1800 c-1. Загрузка интерфейса составит a=λ/μ =0.9 Эрланг или 90%.

ЗАДАЧА 2. Сеть оператора связана с сетью Интернет интерфейсом со скоростью VEL=8 Мбит/с = 1 Мбайт/с. Средняя длина пакета LEN=500 байт. Оператор желает обеспечить задержку по интерфейсу не более tе=5 мс для 95% пакетов. Какой параметр потока должен быть оговорен в SLA, чтобы провайдер услуг мог бы обеспечить требования оператора ?

Решение.

Интенсивность обслуживания пакетов μ=VEL/LEN=2000 c-1 . Из уравнения Fe(t) =1−e−(μ−λ) t =0.95 при известных значениях te=0.005, μ=2000 c-1, находим λ=1400 c-1. Загрузка интерфейса составит a=λ/μ =0.7 Эрланг или 70%.

Ужесточение требований к качеству обслуживания в задаче 2 естественно приводит к необходимости снижения параметра потока (или к расширению полосы передачи).

4.4.4. Система M/D/V

На полнодоступный пучок из V линий поступает простейший поток вызовов с параметром λ. Длительность занятия (обслуживания) – постоянна и равна μ. Если в момент поступления вызова все линии заняты, то вызов становится на ожидание и обслуживается в порядке поступления. Это имеет место в сетях АТМ, где используются пакеты постоянной длины.

Для определения вероятности того, что время ожидания начала обслуживания будет больше, чем t , воспользуемся тем, что за время t0 = 1/μ система обслуживает V вызовов, следовательно, вызов будет находиться на ожидании более t только в том случае, если в системе находится не менее Vμ t вызов, т.е.

откуда ФРВО начала обслуживания (вероятность окончания времени ожидания начала обслуживания за время t )

ФРВО окончания обслуживания системы M/D/1 находим через преобразование Лапласа

227

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

В таблице 4.2 приведен пример, показывающий различие среднего времени ожидания начала обслуживания tw при одном и том же среднем времени обслуживания ts для случайного и постоянного распределении времени обслуживания t в однолинейном пучке. Видно, что среднее время ожидания начала обслуживания tw при случайном распределении существенно выше.

За среднее время пребывания вызова в системе все ранее поступившие вызовы будут обслужены, т.е. покинут ее. Поэтому среднее число вызовов, находящихся в системе, равно произведению параметра обслуженного потока на среднее время

4.4.5. Однолинейная многофазная система обслуживания

Предположим, что вызов последовательно обслуживается цепью из S элементов вида M/M/1, каждый из которых часть поступающих вызовов обслуживает полностью, а другую часть вызовов обслуживает частично и передает их на дообслуживание в последующие элементы. Полностью обслуженные вызовы покидают систему. В последнем элементе все вызовы покидают систему. Такую структуру может иметь IPсеть, в которой пакеты следуют через проходные локальные сети. Математически такая модель в теории телетрафика описывается однолинейной (V=1) многофазной (решение задачи в несколько этапов – фаз) системой массового обслуживания.

228

Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ

____________________________________________________________________________________

Очевидно, наибольшие задержки будут иметь место для той части вызовов, которая проходит через все элементы системы. Для этой части потока вызовов ФРВО конца обслуживания вызова имеет вид

ФРВО конца обслуживания вызова k-ым элементом и ее изображение, Te – среднее время ожидания конца обслуживания вызова.

Рассмотрим однолинейную двухфазную систему рис. 4.16. Первый элемент имеет производительность β1 и обслуживает поток с параметром λ1. Часть потока λS1 он обслуживает самостоятельно, а оставшуюся часть (λ1 − λS1) передает на дообслуживание во второй элемент.

Второй элемент имеет производительность β2 и обслуживает поток с параметром λ 2=λ1−λS1+Δλ2 , образованный остаточным потоком с первого элемента и потоком от собственных пользователей. Покажем, что при фиксированной сумме (β1 + β2) наивысшая пропускная способность общего потока достигается, если выполняется равенство D1 = (β1 – λ1) = D 2 = (β2 – λ 2 ) = D . Для доказательства Положения

229

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

Положение доказано. Из него следует, что минимизация суммарной производительности однолинейной многофазной системы состоит в таком распределении мощностей (ресурсов) системы или поступающих потоков вызовов, которое приводит к выравниванию среднего времени ожидания конца обслуживания вызова между элементами системы. Это объясняется тем, что при неравенстве среднего времени ожидания элементы с меньшей производительностью перегружены, а с большей – простаивают в ожидании поступления следующего вызова. При равенстве времени ожидания моменты окончания обслуживания предыдущего вызова и поступления нового вызова совпадают, поэтому суммарное время обслуживания вызова минимально, а пропускная способность – максимальна.

Проведем анализ суммарной производительности однолинейной двухфазной системы с однофазной системой по среднему времени ожидания конца обслуживания вызова, проходящего через обе фазы обслуживания. Составим таблицу 4.3 соответствия вероятностей временам окончания обслуживания первого потока согласно рис. 4.16.

Определим среднее время окончания обслуживания вызова как математическое ожидание

Из анализа зависимости Te от λS1 видно, что во всем диапазоне λS1 = 0…λ1 она

представляет собой монотонно убывающую функцию, достигающую своего минимума равного (β 1 – λ 1 ) –1 при λS1 =λ1 .

230

Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ

____________________________________________________________________________________

Из выше изложенного следует, что для достижения одной и той же пропускной способности многофазной однолинейной системе требуется более высокая суммарная производительность, чем в случае ее реализации в виде однофазной. Тем не менее, многофазные однолинейные системы широко применяются в сетях связи при поэтапном обслуживании вызовов через географически удаленные элементы сети (маршрутизаторы).

Из (4.4.7) следует, что ФРВО конца обслуживания вызова S-фазной однолинейной оптимальной системы, имеющей минимальную суммарную производительность, вычисляется по формуле

где D – интенсивность прохождения одной фазы с учетом прохождения очередей, D-1 – среднее время прохождения вызова через одну фазу обслуживания (среднее время ожидания конца обслуживания вызова).

ЗАДАЧА 3. Сеть оператора состоит из двух локальных сетей и имеет структуру и распределение потоков, изображенную на рис. 4.17. Имеются следующие значения параметров абонентских потоков: λ1=3сек-1, Δλ2=2сек-1. В каждой локальной сети две трети поступающей нагрузки замыкается на локальный сервер. Средняя производительность межсетевого интерфейса первого маршрутизатора β1=5сек-1, второго – β2=7сек-1. Появилась необходимость подключения новых абонентов, суммарный поток задач от которых оценивается в виде потока с параметром λD=11сек-1. Пренебрегая аппаратной задержкой распределить этих абонентов между локальными сетями, чтобы обеспечивалась максимальная пропускная способность межстанционных потоков.

Рис. 4.17. К задаче 3

Решение.

Согласно Положению должно выполняться: D1 =β1 – λ1/3 = D2 =β2 – (λ1/3+Δλ2)/3, откуда Δλ2 = 3(β2 – β1) + 2λ1/3 = 6+2λ1/3.

Суммарный параметр потока от абонентов λSU = λ1 + Δλ2 . В соответствии с этими соотношениями составляем таблицу 4.4 распределения потоков.

До подключения новых абонентов λSU = λ1 + λ2 = 5сек-1. Новому значению λSUN = λSU + λD = 16 сек-1 соответствует 6 колонка таблицы, поэтому новые значения должны быть λ1 = 6 сек-1 , λ2 = 10сек-1. Следовательно, к первой локальной сети должен быть добавлен поток с параметром 3 сек-1 (3/11 = 27% абонентов), а ко второй – 8 сек-1 (8/11 = 73% абонентов).

4.4.6. Многолинейная 2-фазная система обслуживания

Фрагмент многолинейной 2-фазной системы приведен на рис. 4.18. Такую структуру может иметь корпоративная IP-сеть, в которой пользователи размещены в m локальных сетях и связаны между собой и публичной IP-сетью через удаленный маршрутизатор R провайдера.

Пользователи i-ой локальной сети создают поток вызовов с параметром λi, суммарный поток вызовов корпоративной сети Λ = Σλi, коэффициент замыкания внутреннего трафика внутри корпоративной сети равен k .

Коэффициент замыкания внутреннего трафика внутри каждой из локальных сетей естественно зависит от числа пользователей в локальной сети. Если предположить, что

231

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

все пользователи корпоративной сети создают примерно одинаковую нагрузку, то доля внутреннего трафика внутри каждой локальной сети пропорциональна параметру потока вызовов – λi/Λ. Тогда

параметр потока вызовов, замыкающийся внутри локальной сети, равен k*λi2/Λ;

параметр потока на внешний интерфейс маршрутизатора локальной сети равен λi – k*λi2/Λ ,

параметр потока вызовов локальной сети, уходящий во внешнюю IP-сеть, равен

λi*(1-k);

параметр потока вызовов локальной сети, замыкающийся внутри корпоративной сети, равен λi – k*λi2/Λ – λi*(1-k) = k*λi*(1 – λi/Λ);

Предполагается, что аппаратная задержка обслуживания пакетов маршрутизатором много меньше задержки, образуемой очередями на интерфейсе маршрутизатора, который имеет интенсивность обслуживания пакетов (производительность) βi =VELi/LEN, где VELi – скорость передачи интерфейса, LEN – средняя длина пакета.

На втором звене происходит объединение нагрузок. Требуется определить скорость интерфейса каждого маршрутизатора локальной сети, при которой задержки прохождения пакетов любого сетевого элемента корпоративной сети не превысили бы заданное значение Tsys.

На рис. 4.18 показано распределение потоков 2-звеной схемы.

k*λm2/Λ

Рис. 4.18. Фрагмент многолинейной 2-фазной системы

Задержка прохождения пакета внутри корпоративной сети для i-ой локальной сети вычисляется как

при известных Tsys , λi ,k , Λ находим βi,а затем и требуемую скорость интерфейса

Если для какого-либо интерфейса условие (4.4.12) не выполняется, то следует либо заменить интерфейс на более высокоскоростной, либо соответствующим образом перераспределить пользователей между локальными сетями. Эта рекомендация наиболее эффективна при небольшом значении коэффициента замыкания внутреннего трафика внутри корпоративной сети.

ЗАДАЧА 4. Оператор имеет корпоративную сеть, состоящую из 3-х локальных сетей (рис. 4.19). Интерфейсы локальных сетей имеют скорости передачи VEL1=64 Кбит/с, VEL2=384 Кбит/с, VEL3=2048 Кбит/с. Каждый из пользователей в ЧНН с учетом услуги IP-телефонии генерирует 4 запроса в секунду (α=4 сек-1). Средняя дина пакета составляет 256 байт (LEN=2048 бит). Коэффициент замыкания внутреннего трафика внутри корпоративной сети равен k=0.6 . Требуется найти максимально возможное количество пользователей в каждой локальной сети при заданной задержке обслуживания пакета на любом интерфейсе не более

Tsys = 32 мс.

Решение.

232

Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ

____________________________________________________________________________________

Задача решается побором параметра λi для каждой локальной сети. Результаты даны в табл. 4.5.

4.5. Система с повторными вызовами (Blocked Calls Repeated, BCR)

Причиной повторных вызовов являются блокировка вызова, ошибка в наборе номера, занятость абонента, безответность абонента. Повторные вызовы создают дополнительную неоплачиваемую нагрузку, как на каналы связи, так и на управляющие устройства, поскольку начисление платы за разговор начинается с момента ответа вызываемого абонента. Особенно сильно повторные вызовы загружают управляющие устройства, т.к. они обрабатываются так же, как и нормальные вызовы.

Возникновение повторных вызовов в значительной мере связано с малой информативностью абонентов о состоянии ресурсов в сети связи и отсутствием в системе дополнительных видов обслуживания. Например, если абонент отключен от сети за неуплату, то при использовании системой только акустических тональных сигналов, все поступающие на него вызовы завершаются подачей акустического сигнала “Занято”. Вызывающий абонент, предполагая, что вызываемый абонент действительно занят, будет безуспешно создавать повторные неоплачиваемые вызовы. Изменить ситуацию помогает выдача автоинформатором соответствующего голосового уведомления. В рассматриваемом выше случае, подача вызывающему абоненту голосового уведомления типа “Вызываемый абонент не обслуживается” освобождает его от последующих повторных вызовов на этот номер.

Еще одним действенным способом для уменьшения числа повторных вызовов для абонентов сети интегрального обслуживания является применение дополнительного вида обслуживания “Завершение соединения к занятому абоненту” (Call Completion to Busy Subscriber – CCBS), когда вызываемая сторона информирует вызывающую сторону об освобождении абонента.

233

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

Число повторных вызовов абсолютно настойчивого абонента оценивается средним числом попыток М на один успешный вызов, при этом, естественно, среднее число повторных попыток равно (М-1).

Для модели с повторными вызовами справедливы предположения:

–вызовы, поступающие на вход системы, образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности с параметром λ;

–длительность обслуживания вызова управляющим устройством подчиняется экспоненциальному распределению с параметром μ;

–вызов, не принятый к обслуживанию в момент занятости V линий пучка, через случайный интервал времени, со средним, равным времени занятия, вновь поступает на вход системы;

–любой из V выходов пучка доступен, когда он свободен, для любого поступающего вызова.

–исходной для расчета является обслуженная нагрузка AS < V;

–система находится в стационарном режиме.

На рис. 4.20 приведены схемы распределения нагрузки в системе с потерями и с повторными вызовами. Приняты следующие обозначения: КП – коммутационное поле, A0 – поступающая нагрузка, AS – обслуженная нагрузка, AL – потерянная нагрузка, AR – повторная нагрузка.

Из физического смысла следует, что в стационарном режиме без потерь обслуженная и поступающая нагрузки совпадают, а консолидированная нагрузка B= A0 + AR , образованная поступающей и повторной, находится из трансцендентного

=1 μ(1(− EV (B)) ), z z + μ 1 − EV (B)

оригиналом которой является

Fe (t) =1 − exp{− μ(1 − EV (B)) t}.

234

Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ

____________________________________________________________________________________

Среднее время обслуживания повторного вызова управляющим устройством TR=( μ*(1–EV(B)))-1 , а одиночного вызова – T1=( μ)-1, поэтому среднее число попыток на один успешный вызов

ЗАДАЧА 1. 4-х линейная система с повторными вызовами обслуживает нагрузку 3 Эрланг. Определить повторную нагрузку и число попыток на один успешный вызов.

Решение.

В нашем случае A0 = AS = 3 Эрланг, V=4.

ЗАДАЧА 3. Сравнить ФРВО конца обслуживания вызова однолинейных систем с ожиданием и с повторными вызовами. Решение.

Для системы с ожиданием Fe(t) = 1 – exp{–(μ–λ)t}, а для системы с повторными вызовами Fe(t) = 1– exp{–μ(1–E1(B))t}= 1– exp{–μ2t/(λ+μ)}.

Поскольку (μ–λ) < μ2 / (λ+μ), то вызовы в системе с повторными вызовами в среднем обслуживаются быстрее, чем в системе с ожиданием.

4.6.Система с коллизией (Collisions Calls Repeated, CCR)

Коллизии имеют место в локальных сетях Ethernet. При возникновении коллизии повторная попытка соединения осуществляется через случайный момент времени, вычисляемый по формуле trep = t512*k, где t512 – длительность промежутка в 512 тактовых интервалов. Значение k равновероятно принимает целочисленные значения в диапазоне (0-2n), где n равно номеру повторной попытки, если номер попытки не больше 10. С 10-й попытки значение n не увеличивается и остается равным 10. Например, для Ethernet со скоростью 10 Мбит/с длительность промежутка в 512 тактовых интервалов t512 = 51.2 мкс, максимальная задержка 1-ой повторной попытки составит trep1=51.2 мкс*2 = 0.1 мс, а максимальная задержка 16-ой попытки составит trepmax = 51.2 мкс*210 = 52.4288 мс.

Для модели с коллизией примем следующие предположения:

–вызовы, поступающие на вход системы, образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности с параметром λ;

–длительность занятия подчиняется экспоненциальному распределению с

параметром μ;

–любой из V выходов пучка доступен, когда он свободен, для любого поступающего вызова;

–вызов, не принятый к обслуживанию в момент занятости V линий пучка, поступает во входную очередь с бесконечным числом мест ожидания. Если вызовов в очереди единственный, то при освобождении линии он обслуживается, в противном случае все вызовы из очереди блокируются и через случайный интервал времени, со средним, равным среднему времени занятия, вновь поступают на вход системы;

235

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

–исходной для расчета является консолидированная нагрузка B;

–система находится в стационарном режиме.

Рассмотрим систему без потерь – бесконечный пучок линий. Определим вероятность поступления на него за время занятия более V вызовов (формула Пуассона)

Определим долю нагрузки, обслуженную V линиями пучка

которая достигает своего максимального значения при выполнении равенства dAdBS = 0.

Находим производную

из которой легко определяем условие обеспечения максимальной пропускной способности V линий пучка

Условие (4.6.1) позволяет рассчитать максимальную консолидированную нагрузку BmaxB , при которой система с коллизией обслуживает вызовы без потерь.

В однолинейной системе с коллизией без потерь при первичной поступающей нагрузке A0 <0.839 Эрланг существует стационарный процесс обслуживания вызовов и справедливы равенства: обслуженная (она же первичная) нагрузка AS = A0 = B(e−B + Be−B ) , нагрузка коллизии AC = B – AS , среднее число попыток на

один успешный вызов M = B/AS. При A0 ≥ 0.839 Эрланг стационарного процесса обслуживания вызовов нет: нагрузка коллизии AC начинает монотонно увеличиваться, обслуженная нагрузка AS стремиться к нулю, а число попыток на один успешный вызов M стремиться к бесконечности. Ниже в таблице 4.6 приведены некоторые значения B , AS , AC , М для однолинейной системы с коллизией.

Табл. 4.6

236