Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КИС_Лекции / Глава 4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.03.2015

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Глава 4	ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ
____________________________________________________________________________________
Число занятых линий
			15	15		27	27
			14	14		26	26	26
		9	9	9	9	9	31	27
V=4		8	8	19	19	19	19	34	27
		7	13	8	14	25	30	19	26
		6	12	18	15	24	9	31	36
	3	5	11	17	21	23	29	33	34
1	2	4	10	16	20	22	28	32	35	27	t
											t
Рис. 4.8. Диаграмма работы системы с повторными вызовами при											Ao = 3 Эрланг,
					V = 4, As = 3 Эрланг.

В системе с коллизией (Collisions Calls Repeated, CCR) вызов, не принятый к обслуживанию в момент занятости V линий пучка, становится на ожидание во входной очереди. Если вызовов в очереди единственный, то при освобождении любой линии он занимает ее и обслуживается, в противном случае все поступившие вызовы из очереди удаляются и через случайный интервал времени, со средним, равным времени занятия, вновь поступают на вход системы. Следствием блокировки при небольшой нагрузке является увеличение времени обслуживания, а при превышении некоторого предела поступающей нагрузки Aomax – полное самопроизвольное прекращение обслуживания вызовов системой из-за переполнения очереди.

Процесс обслуживания вызовов системой с коллизией в стационарном режиме показан на рис. 4.9 (серый цвет – первичные вызовы, темно-серый – с коллизией).

Число занятых линий

	9
	8	20
	7	19
	6	18
	5	17
V=4	4	16

		6	12	15		26
		5	11	14	17	25	20	19
	3	4	8	9	22	24	27	16	18
1	2	10	7	13	21	23	28	29	30
									t

Рис. 4.9 Диаграмма работы системы с коллизией при Ao = 2.54 Эрланг, V = 4, As = 2.54 Эрланг.

207

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

Зависимость обслуженной нагрузки от поступающей нагрузки для рассмотренных систем приведена на рис. 4.10. Видно, что для всех систем существует свой предел обслуженной нагрузки As , который достигается при различных значениях поступающей нагрузки Ao .

С ожиданием

С потерями

С повторными вызовами

С коллизией

A0 max	Ao
	V

Рис. 4.10. Характеристики различных систем коммутации

4.2.3.Простейшие коммутационные устройства

Кпростейшим коммутационным устройствам относят коммутационный элемент, соединитель и коммутатор.

Коммутационный элемент – двухполюсник вида 1 х 1 (рис. 4.11а) с одной точкой коммутации между входом (входным интерфейсом) и выходом (выходным интерфейсом), имеет два возможных состояния: замкнуто или разомкнуто.

Соединитель – многополюсник вида n х 1 (рис. 4.11б) с n точками коммутации, полученный объединением выходов n коммутационных элементов, в котором любой из n входов может соединиться с выходом. Соединитель хорошо отображает функционирование концентратора в локальной сети Ethernet.

Коммутатор – многополюсник	вида	n х m (рис. 4.11в) с nm точками
коммутации, полученный объединением	одноименных n входов m соединителей, в

котором любой из n входов может соединиться с любым из m выходов. Коммутатор хорошо отображает функционирование IP-модуля. Входы коммутатора отображают входные интерфейсы, по которым в IP-модуль поступают пакеты на обслуживание, а выходы коммутатора – выходные интерфейсы, по которым пакеты покидают IP-модуль в соответствии с адресом пункта назначения.

Коммутационное поле (КП) – многополюсник вида NхM, в котором любой поступивший на вход вызов может соединиться с любым из M выходов в соответствии с заданным режимом установления соединения. Коммутационные поля, в которых соединение входа-выхода происходит через один коммутационный элемент (точку коммутации) называются однозвенными. Если КП обладает таким свойством, что между любым входом и свободным выходом всегда имеется свободный соединительный путь, то оно называются полнодоступными. Коммутатор – однозвенное полнодоступное КП.

208

Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ

____________________________________________________________________________________

			1				1		1
		1
1						1
1	a)					1	2


				2
							n

				n
					б)		1

									m
							2
							2
							n
								в)

Рис. 4.11. Простейшие коммутационные устройства а) коммутационный элемент б)соединитель в)коммутатор

Врежиме свободного искания любой поступивший на вход вызов соединяется с любым свободным выходом.

Врежиме группового искания выходы КП разбиваются на h направлений и за

каждым направлением закрепляется Vj (j=1,…h) выходов так, что ΣVj=M. Выходы одного направления образуют пучок линий. Поступивший на вход вызов соединяется с любым свободным выходом выбранного направления.

В режиме линейного искания поступивший вызов соединяется с одним фиксированным выходом.

4.3.Система с явными потерями (Blocked Calls Cleared, BCC)

4.3.1.Стационарный процесс рождения и гибели полнодоступного пучка

Функционирование многих реальных сетевых элементов хорошо описывается

Марковским процессом рождения и гибели, где под рождением понимается поступление вызова (пакета) и занятие им одной обслуживающей линии, а под гибелью

– окончание его обслуживания и освобождение линии. Процесс предполагает наличие ограниченного пучка обслуживающих линий, момент поступления вызова и время его обслуживания являются случайными величинами. При отсутствии свободных линий обслуживание вновь поступивших вызовов прекращается. Результаты имеют фундаментальное значение и широко используются в частных случаях, которые приведены в последующих разделах.

Вероятностный процесс называется Марковским, если будущее поведение процесса не зависит ни от каких сведений о прошлом. В уравнении КолмогороваЧепмана это выражено в безусловных вероятностях перехода состояний:

p ji (t +τ) = ∑p j (t) p ji (τ)

j=0

Пусть px(t+τ) – вероятность состояния {х} пучка с х=0,…V занятыми линиями в момент времени (t+τ), px(t) – та же вероятность в момент времени t. Согласно определению марковского процесса в момент времени τÆ0 может произойти не более одного элементарного события. Поэтому, если в момент времени (t+τ) пучок находится в состоянии {x}, то это возможно при наступлении за время τ одного из трех возможных событий:

209

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

вмомент времени t пучок находился в состоянии {x-1}, а за время τ поступил один вызов;

вмомент времени t пучок находился в состоянии {x+1}, а за время τ произошло одно освобождение;

вмомент времени t пучок находился в состоянии {x}, а за время τ не поступил ни один вызов и не произошло ни одного освобождения.

Графически вероятностные процессы часто изображают в виде диаграммы переходов, в которой соседние состояния соединяются линиями, отображающими интенсивности переходов между ними. Диаграмма переходов процесса рождения и гибели изображена на рис. 4.12.

λ0

λ1

λx-1

λx

λV-1

. . .

μx+1

. . .

μV

μ1

μx

Рис. 4.12. Диаграмма переходов

Вероятность поступления в состоянии {x-1} за время τ хотя бы одного вызова

(λ

τ)1

(λ

τ)2

(τ) =1 − e−λx −1τ =1 − (1 −

x−1

−...)

=λ

τ.

τ →0

x−1

Вероятность освобождения в состоянии {x+1} за время τ хотя бы одной линии

пучка

τ)1

τ)2

(μ

(τ) =1− e−μx+1τ

=1−(1−

x+1

−...)

= μ

τ.

−1

τ→0

x+1

Вероятность нахождения пучка за время τ в том же состоянии {x}

p (τ) = e−λx τ e−μx τ = e−(λx +μx )ττ →0 =1 − λ

τ − μ

τ.

Следовательно, из уравнения Колмогорова-Чепмана получаем

px (t +τ) = px−1(t) p+1(τ) + px+1(t) p−1(τ) + px (t) p0 (τ) =

= λx−1τ px−1(t) + μx+1τ px+1(t) + px (t)(1− λxτ − μxτ),

x = 0,...V ,

или

px (t +τ) − px (t)

= −λx−1 px−1(t) − (λx + μx ) px (t) + μx+1 px+1(t),

x = 0,...V .

Перейдя к пределу и учитывая то, что λ-1=μo=λv=μv+1=0, получаем систему

дифференциальных уравнений

dp0 (t)

= −λ

(t) + μ

p (t),

x = 0,

dpx (t)

= λx−1 px−1(t) − (λx + μx ) px (t) + μx+1 px+1(t),

x =1,...V −1,

dpV (t)

= λ

(t) − μ

p (t),

x =V.

V −1

V V

210

Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ

____________________________________________________________________________________

В стационарном режиме вероятности состояний не зависят от времени наблюдения, т.е.,

dp0 (t)

dp1(t)

=... =

dpV (t)

= 0,

поэтому px (t) → [x ],

x=0,..V, где

[x] - стационарная вероятность занятия точно х

линий пучка.

Следовательно

μ 1[1]− λ 0 [0] = μ 2 [2]− λ 1[1] =... = μ V [V ]− λV −1[V −1] = 0

или, иначе

λ 0

[1] =

[0],

[2] =

λ 1

[1] =

λ 0 λ 1

[0],

. . .

x −1

[x ] =

x −1

[x − 1]

= ∏

[0 ],

i =0

i +1

. . .

V −1

[V ] =

V −1

− 1] = ∏

[0 ].

i = 0

Из условия нормировки

∑[x ] =1 ,

находим

x =0

x −1

−1

[ 0 ] =

∑ ∏

x = 0 j = 0

μ j +1

а затем

x −1

∏

x −1

[x ] = ∏

[0] =

i=0

x=0,..V.

(4.3.1)

j=0

μ j+1

x −1

∑∏

x =0

j=0

Математическое описание функционирования реальных объектов (систем) принято называть моделями. Наиболее распространенные на практике модели часто именуются именами их исследователей.

Общий принцип наименования моделей в виде сокращенной записи А/В/V/K/N предложил Кэндалл. Здесь позиция А обозначает вид поступающего потока вызовов (M

– пуассоновский поток вызовов), позиция В – вид времени занятия (M – экспоненциальное, D – постоянное, G – произвольное), V – число обслуживающих приборов, K – общее число обслуживающих приборов и мест ожидания, N – число источников нагрузки. Если какой-либо параметр не указан, то по умолчанию он принимает значение ∞.

211

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

ЗАДАЧА 1. Время занятия подчинено экспоненциальному распределению с параметром b. Пучок находится в состоянии {x}. Определить вероятность того, что за время t: 1)освободятся все линии пучка, 2)не освободится ни одной линии, 3)освободится хотя бы одна линия.

Решение.

1) (1 − e−bt )x ,

2) e−xbt ,

3) 1 − e−xbt .

4.3.2.Модель Эрланга (M/M/V/V). Дискретная формула Эрланга

Всистемах распределения информации большой емкости, когда число источников нагрузки (абонентов) велико, а параметр потока от одного источника мал, поведение одного источника (наличие или отсутствие от него вызовов) мало влияет на суммарный поток вызовов. В этом случае суммарный поток вызовов является практически постоянной величиной и не зависит от состояния {x}, (x=0,1,...V). Такой

поток называется простейшим. Для него λο = λ1 = ... = λV-1 = λ, μx = x μ .

Модель Эрланга для расчета вероятности потерь справедлива при предположениях:

–вызовы, поступающие на вход системы, образуют пуассоновский поток постоянной интенсивности с параметром λ ;

–длительность занятия подчиняется экспоненциальному распределению с

параметром μ;

–вызов, не принятый к обслуживанию в момент занятости V линий пучка, теряется, не влияя на моменты поступления последующих вызовов;

–любой из V выходов пучка доступен, когда он свободен, для любого поступающего вызова;

–исходной для расчета является поступающая нагрузка;

–система находится в стационарном режиме.

Подставляя значения параметров λx и μx в формулу (4.3.1) вероятностей

стационарного процесса рождения и гибели, получим
	(λ	/ μ )x V		(λ / μ )i −1		A x
[x ] =			∑		=	x ! [0], x= 0, 1,…V,	(4.3.2)
[x ] =		x !	∑	i!	=	x ! [0], x= 0, 1,…V,	(4.3.2)
			i=0

где A = λ/μ – поступающая нагрузка первого рода. Финальная вероятность

	A	V V		A	i −1
[V ] = E V ( A ) =			∑
	V
		! i =0		i !

определяет потери по времени в полнодоступном пучке и носит название первой формулы Эрланга.

В модели Эрланга потери по времени, вызовам, нагрузке – совпадают, параметр потерянного потока – λ EV (A), потерянная нагрузка – AEV (A) .

Среднее число занятых линий

V −1

= A (1 − E

( A )).

= [0 ]

= A [0 ]

A [0 ]

∑

−

∑

k !

∑

k !

V !

k =0

Прямой расчет формулы Эрланга во многих практических случаях невозможен из-за переполнения разрядной сетки вычислительного устройства (при больших значениях A и V). Поэтому для ее расчета пользуются рекуррентным соотношением

212

Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ

____________________________________________________________________________________

EV ( A) =

AEV −1 ( A)

(4.3.3)

+ AEV −1 ( A)

. . . EV-1(A), EV(A), при начальном

последовательно вычисляя

E1(A),

E2(A),

значении Eo(A)=1.

Следует запомнить:

E0 (A) =1,

EV (0) = 0,

E0 (0) = 0 ,

V −1

∑Ak

−

∑Ak

A −V

( A) =

k =0

A >>V

≈

∑A

k =0

ЗАДАЧА 2. Для полнодоступного пучка определить а) какая максимальная нагрузка может поступать на 2-линейный

пучок; б) какая максимальная нагрузка может быть обслужена 2-линейным пучком;

в) какая должна быть емкость пучка, чтобы

без потерь обслужить нагрузку 1 Эрланг.

Решение.

а) ∞

б) 2 Эрланг

в) ∞.

ЗАДАЧА 3.

Вывести рекуррентную формулу Эрланга.

Решение.

+ V∑−1 A i

A V

i !

+ A E V −1 ( A )

V !

= 1

E V ( A )

A V

V !

A E V −1

( A )

A E V −1 ( A )

ЗАДАЧА 4. На полнодоступный пучок емкостью V=3 поступает нагрузка первого рода интенсивностью A=3 Эрл. Определить распределение стационарных вероятностей пучка.

Решение. Используем (4.3.2):

[ 0 ] = [ 0				];
[ 1 ] =		A		1	[ 0 ] = 3 [ 0 ];
[ 1 ] =	1 !				[ 0 ] = 3 [ 0 ];
	1 !
[ 2 ] =			A	2			[ 0 ] = 4 . 5 [ 0 ];
[ 2 ] =	2 !						[ 0 ] = 4 . 5 [ 0 ];
	2 !
[ 3 ] =			A	3		[ 0 ] = 4 . 5 [ 0 ].
[ 3 ] =	3 !					[ 0 ] = 4 . 5 [ 0 ].
	3 !

Из нормирующего условия [0]+3[0]+4.5[0]+4.5[0]=1, находим [0]=2/26, а затем – искомые стационарные вероятности

[1]=6/26; [2]=9/26; [3]=9/26.

ЗАДАЧА 5. На полнодоступный пучок емкостью V=3 поступает нагрузка первого рода интенсивностью A=3 Эрл. Определить вероятность потерь, используя рекуррентную формулу Эрланга.

Решение. Используем (4.3.3):

E 0 ( 3 ) = 1;

E 1 ( 3 ) =

3 * 1

= 0 . 7 5 ;

1 + 3

E 2 ( 3 ) =

3 * 0 . 7 5

;

2 + 3 * 0 . 7 5

1 7

E 3 ( 3 ) =

3 * 9 1 7

+ 3 *

2 6

1 7

ЗАДАЧА 6. В телефонной сети общего пользования провайдер имеет N=20 000 пользователей. Каждый пользователь в

среднем осуществляет сеанс связи в Интернет в дневное время (длительность

часов) один раз в два дня. Для выхода в

Интернет используется модемный пул, который закрепляет за каждым пользователем индивидуальный станционный модем на время сеанса связи. Среднее время пребывания в Интернет 1 час. Определить необходимое число станционных модемов, чтобы вероятность отказа в сеансе связи из-за их недостатка не превосходила бы значения 0.1.

Решение.

Находим параметр потока вызовов от одного абонента λ = 1 / 2 дня =1/24 час=0.0416 час-1 и поступающую нагрузку

A = λ * N * ts = 0.0416 * 20000 * 1 = 833 .3 Эрланг .

213

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

Из первой формулы Эрланга

	A	V	V	A	i − 1
[V ] = E V ( A ) =			∑
	V	!		i	!
			i = 0

при EV(A)=0.1,	A=833.3 Эрланг находим необходимое число станционных модемов V=760, что гораздо меньше числа
пользователей N=20 000.
4.3.3. Модель Эрланга (M/M/V/V). Интегральная формула Эрланга
Пусть	{x} – состояние V-линейного пучка	(наличие х установленных
соединений),	[x] – стационарная вероятность состояния	{x}, (x=0,…V). Тогда первый

потерянный вызов, поступивший на (V+1)-ю фиктивную линию пучка при условии не освобождения занятых линий, будет принадлежать потоку Эрланга (V-x)-го порядка, поскольку потери наступят только после поступления (V-x+1)-го вызова.

Рассмотрим функцию распределения промежутков времени между					вызовами
потока k-го	порядка. Для	этого обратимся к	потоку	Эрланга 0-го	порядка
(простейшему	потоку вызовов)	с интенсивностью	λ,	у которого	функция

распределения, плотность, изображение плотности и математическое ожидание промежутков между вызовами соответственно равны

	F (t) =1 − e−λt ,
		0
	f	0	(t) = dF (t) / dt = λ e−λt ,
		0		0
				∞						λ
	f0 (s) = L[ f0 (t)] = ∫λ e−λt e−zt dt =									λ	,
	f0 (s) = L[ f0 (t)] = ∫λ e−λt e−zt dt =									λ + z	,
				0						λ + z
				∞	1
	M [t0			] = ∫tf0 (t)dt =	1			,
	M [t0			] = ∫tf0 (t)dt =		λ		,
				0		λ
где L – оператор Лапласа.				0
где L – оператор Лапласа.
Поток Эрланга k-го	порядка образуется из порождающего потока 0-го порядка,
когда k вызовов потока	0-го порядка пропускаются,								(k+1)-ый учитывается, затем
снова k вызовов пропускаются,				следующий	учитывается					и т.д. Используя теорему о
свертке, получим изображение потока Эрланга k-го порядка
			f k (z) = L[ f k (t)] =					λ k +1	,
			f k (z) = L[ f k (t)] =				(λ + z)k +1		,
							(λ + z)k +1

из которого разложением Хевисайда для рациональных алгебраических дробей находим оригинал

(λ t)k

fk (t) = L−1[ fk (z)] = λ

e−λ t ,

где L-1 – оператор обратного преобразования Лапласа.

Теперь легко находим функцию распределения промежутков между вызовами

∞

Fk (t) = ∫ fk (t)dt =1−

∑

(λ t)

e−λ t ,

i=0

математическое ожидание промежутков времени между ними

∞

k +1

M k [t] = ∫tfk (t)dt =

и параметр просеянного потока Эрланга k-го порядка

λ k = 1

M k [t]

Вернемся к нашему случаю. На (x+1)-ую линию пучка в состоянии {k}, k=1,2,…x поступают условно потерянные вызовы потока Эрланга (x-k)-го порядка,

214

Глава 4 ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕТЕЙ КОММУТАЦИИ

____________________________________________________________________________________

ибо k вызовов уже “потеряны” на предыдущих линиях пучка. Поэтому плотность потока условно потерянных вызовов, поступающих на (x+1)-ую линию пучка, находим по формуле полной вероятности

(t) = V [k] f

(t) = x

[k] f

V [k]f

(t) = x

(λ / μ )k

[0]λ

(λ t)x−k

e−λ t +{1−F(x)}λ e−λ t =

x−k

∑

(x −k)!

k=0

k=x+1

k=0

+{1−F(x)}λ e−λ t .

=λ [x] e−λ t ∑Cxk (μ t)x−k +{1−F(x)}λ e−λ t

=λ [x](1+μ t)x e−λ t

k=0

∞

Очевидно,

∫ fx (t)dt =1,

откуда для любого значения x

∞

λ [x]∫(1+ μ t)x e−λ t dt +{1− F(x)}=1,

а функция распределения занятости х линий пучка

∞

−λ t

∞∫(A + z)x e−z dz

[x]I (x, A)

F (x) = λ [x]∫(1+ μ t)

dt =[x]

где

I (x, A) = ∞∫(A + z)x e−z dz

–

интеграл первого рода.

В частности, при x=V , очевидно F(V)=1,

[V ] =

E (A) =

(4.3.4)

∞

I (V , A)

∫(A + z)V e−z dz

Выражение (4.3.4) – интегральная формула Эрланга, позволяющая производить расчет потерь при любом действительном значении V.

Для интегральной формулы Эрланга верно рекуррентное соотношение

EV (A) =		AEV −1 (A)
	V + AEV −1 (A)
с начальным значением
		A v
Ev (A) =			,
		I(v, A)

где v = V – INT (V) – дробная часть емкости пучка.

Также, очевидно, что интегральное распределение Эрланга имеет вид

∑Ak / k!

F(x) = kV=0

∑Ak / k!

k =0

=I (x, A) I (V ,0) . I (x,0) I (V , A)

Практическое применение интегральной формулы Эрланга демонстрирует следующий пример.

ЗАДАЧА 7. На полнодоступный 100-линейный пучок в ЧНН поступает нагрузка A=80 Эрланг. В течение 20 минут ЧНН пучок был исправен, в течение последующих 20 минут вышли из строя 10 линий пучка, а затем неисправность устранили. Определить обслуженную нагрузку.

Решение.

Средняя емкость пучка в ЧНН – V=100/3+90/3+100/3=96.6. Подставляя значения A=80, V=96.6 в интегральную формулу Эрланга (4.3.4), находим потери EV(A)=0.00833 и обслуженную нагрузку As=A(1-EV(A))=79,33 Эрланг.

215

Ю.Ф.Кожанов, Колбанев М.О ИНТЕРФЕЙСЫ И ПРОТОКОЛЫ СЕТЕЙ СЛЕДУЮЩЕГО ПОКОЛЕНИЯ

________________________________________________________________________

4.3.4. Модель Эрланга (M/M/V/V). Поток Пальма

Промежутки времени между вызовами потерянного потока, кроме первого, распределены по одинаковому закону, поэтому потерянный поток вызовов является рекуррентным и называется потоком Пальма.

Для потерянного на V-линейном полнодоступном пучке простейшего потока вызовов Пальм вывел уравнение

t
ϕx (t) = ϕx −1(t) − ∫(1− e−μ τ )ϕx (t −τ )dϕx −1(τ ),	x=1,…V,	(4.3.5)
0

где ϕx(t) – вероятность того, что в промежутке времени (t0, t0+τ) ни один вызов на х- ой линии пучка не будет потерян, при условии, что в данный момент t0 на этой линии теряется вызов, μ – интенсивность обслуживания вызова.

Применим к (4.3.5) преобразование Лапласа

ϕx (z) = ϕx−1 (z) −ϕx (z)dϕx−1 (z) +ϕx (z)dϕx−1 (z + μ ) =

=ϕx−1 (z) − zϕx (z)ϕx−1 (z) + (z + μ )ϕx (z)ϕx−1 (z + μ ),

Откуда

ϕx (z) =

ϕx−1 (z)

(4.3.6)

+ zϕx−1 (z) − (z

+ μ )ϕx−1 (z + μ )

Введем

новую

функцию

Fx −1(t) =1−ϕx −1(t)

– функцию

распределения

промежутков времени между вызовами на выходе (х-1)-ой линии пучка. Для нее

ϕx−1 (z) =

− Fx−1

(z) =

1− zFx−1

(z)

(4.3.7)

Подстановкой (4.3.7) в (4.3.6)

получаем

ϕx (z) =

1 − zFx−1 (z)

z[1 − zFx−1 (z) + (z + μ )Fx−1 (z + μ )]

или

+ μ )Fx−1 (z + μ )

F (z)

−ϕ

(z) =

z[1 − zFx−1 (z) + (z + μ )Fx−1 (z + μ )]

(4.3.8)

f x−1 (z + μ )

z[1− f x−1 (z) + f x−1 (z + μ )]

где fx-1 (z)

–

преобразование Лапласа от плотности потока, потерянного на (х-1)

линиях пучка.

Последовательно вычисляя

fi (z +

jμ ) =

fi−1 (z + ( j +1)μ )

i=1,…x,

j=0,…x,

1 − fi−1 (z + jμ ) +

fi−1 (z + ( j +1)μ )

при начальных

f0 (z + jμ ) =

j=0,…x,

+ z +

jμ

итерационным методом из решения уравнения

1 − f x −1 (z) + f x −1 (z + μ ) = 0

находим корни γk , k=1,…x+1.

216

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке КИС_Лекции

#
15.03.20151.6 Mб82Глава 1.pdf
#
15.03.20151.33 Mб106Глава 2.pdf
#
15.03.20151.2 Mб92Глава 3.pdf
#
15.03.20151.12 Mб84Глава 4.pdf
#
15.03.2015245.81 Кб78Литер+Оглавление.pdf
#
15.03.2015228.26 Кб66Предис+Глоссарий.pdf
#
15.03.2015331.69 Кб75Титул.pdf