ДТО Занятие 43
.docxМатематика 1 курс СПб ГУТ Колледж телекоммуникаций
ДТО
Занятие № 43
Параллельность
плоскостей
Занятие № 43 ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
-
Параллельные плоскости.
-
Признак параллельности двух плоскостей.
-
Свойства параллельных плоскостей.
-
Решение задач.
-
Параллельные плоскости.
Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
На рисунке изображены параллельные плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве: две плоскости в пространстве либо имеют общие точки, т.е. пересекаются, либо не имеют общих точек, т.е. параллельны.
-
Признак параллельности двух плоскостей.
Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
-
Свойства параллельных плоскостей.
Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Если α∥β и они пересекаются с γ, то а∥
Свойство 2. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями равны.
Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.
Свойство 3. Если прямая пересекает плоскость, то она пересекает также любую плоскость параллельную данной.
Свойство 4. Если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Свойство 5. Через точку не лежащую в данной плоскости проходит плоскость параллельная данной и притом только одна.
Свойство 6. Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны между собой.
-
Решение задач.
Задача:
Три отрезка , и , не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости и параллельны.
Решение.
Пусть O – точка пересечения отрезков , и . Рассмотрим четырёхугольник . В этом прямоугольнике диагонали и точкой пересечения делятся пополам, а значит прямоугольник – параллелограмм. Тогда стороны и параллельны.
Аналогично доказывается параллельность и .
В итоге получаем, что две пересекающиеся прямые и параллельны двум пересекающимся прямым и , значит по признаку параллельности двух плоскостей плоскости и параллельны.
Контрольные вопросы и задания:
:
-
Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N, и P – середины отрезков BA, BC и BD соответственно.
-
Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.
-
Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48.
-
Параллельные отрезки , и заключены между параллельными плоскостями и .
-
Определите вид четырёхугольников , и .
-
Докажите, что .
-
Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках , и , а другую – в точках , и . Докажите, что треугольники и подобны.