7. Рассмотрим модель нестационарного режима.

Рассмотрим вопрос об изменении вероятности состояний в зависимости от времени. Обозначим р_i(t) – вероятность пребывания системы в момент времени t в состоянии S_i и i= 0,1,2,3,4. Данные вероятности как функции времени удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений ( уравнения Колгомогорова-Чемпена).

S₀ : р₀ (t) = -ƛр₀ (t) + µр₁ (t) = 0

S₁ : р₁ (t) = ƛр₀ (t) –(µ +ƛ)р₁ (t) +2µр₂ (t) =0

S₂: р₂ (t) = ƛр₁(t) –(2µ +ƛ)р₂ (t) +2µр₃(t) =0

S₃: р₃(t) = ƛр₂ (t) –(2µ +ƛ)р₃ (t) +2µр₄ (t) =0

S₄: р₄ (t) = ƛр₃ (t) –2µр₄ (t) =0

В нашем случае:

S₀ : р₀ (t) = -8,73р₀ (t) + 4,3р₁(t) = 0

S₁ : р₁ (t) = 8,73р₀ (t) –(4,3 +8,73)р₁ (t) +2*4,3р₂ (t) =0

S₂: р₂ (t) = 8,73р₁(t) –(2*4,3 +8,73)р₂(t) +2*4,3р₃(t) =0

S₃: р₃(t) = 8,73р₂ (t) –(2*4,3 +8,73)р₃(t) +2*4,3р₄ (t) =0

S₄: р₄ (t) = 8,73р₃ (t) –2*4,3р₄ (t) =0

Решение системы дифференциальных уравнений
t	p0	p1	p2	p3	p4
0	1	0	0,000000	0,0000000	0,000000000
0,05	0,5635	0,4365	0,000000	0,000000000	0,000000000
0,1	0,41138	0,398088	0,190532	0,000000000	0,000000000
0,15	0,317401	0,40023	0,199201	0,083167327	0,000000000
0,2	0,264905	0,363682	0,237056	0,098054279	0,036302538
0,25	0,227466	0,344308	0,232558	0,132175130	0,063493139
0,3	0,202203	0,31928	0,238172	0,146458844	0,093885534
0,35	0,182587	0,301945	0,234139	0,163885262	0,117444040
0,4	0,167806	0,285607	0,233527	0,174581314	0,138479019
0,45	0,155964	0,273198	0,230913	0,184787198	0,155137785
0,5	0,146623	0,26258	0,229536	0,192171937	0,169088149
0,55	0,139077	0,254211	0,227893	0,198555437	0,180263296
0,6	0,133025	0,247294	0,226766	0,203495823	0,189419527
0,65	0,128128	0,241757	0,225720	0,207600302	0,196795057
0,7	0,124178	0,23724	0,224929	0,210863358	0,202790714
0,75	0,120981	0,233601	0,224254	0,213531571	0,207632563
0,8	0,118397	0,230647	0,223723	0,215675476	0,211557092
0,85	0,116306	0,228262	0,223285	0,217417449	0,214729887
0,9	0,114615	0,226329	0,222934	0,218823016	0,217298752
0,95	0,113246	0,224767	0,222648	0,219962177	0,219376535
1	0,112139	0,223502	0,222418	0,220882874	0,221058115

Решение системы дифференциальных уравнений:

р₀ (t) = р_{0 (t)} + 0,05*(-8,73р₀ (t) + 4,3р₁(t) )

р₁ (t) = р_{1 (t)} + 0,05*(8,73р₀ (t) –(4,3 +8,73)р₁ (t) +2*4,3р₂ (t))

р₂ (t) = р_{2 (t)} + 0,05*(8,73р₁(t) –(2*4,3 +8,73)р₂(t) +2*4,3р₃(t))

р₃ (t) = р_{3 (t)} + 0,05*(8,73р₂ (t) –(2*4,3 +8,73)р₃(t) +2*4,3р₄ (t))

р₄ (t) = р_{4 (t)} + 0,05*(8,73р₃ (t) –2*4,3р₄ (t))

8.Анализ полученных решения.

8.1. Графики функций р_i (t).

8.2. Характеристики работы системы массового обслуживания в зависимости от времени.

1) Среднее число занятых машин.

Пусть случайная величина Х- число занятых машин, она может принимать значения 0,1,2.

М(Х)- среднее число занятых машин.

М(Х)= 0*р₀ (t)+ 1*р₁ (t)+ 2(р₂ (t)+ р₃ (t)+р₄(t))

2) Среднее число занятых машин.

Пусть величина У – число свободных машин, она может принимать значение 0,1,2.

Среднее число свободных машин – М(У).

М(У) = 0*(р₂ (t)+ р₃ (t)+ р₄(t)) + 1*р₁ (t)+ 2*р₀(t)

3) Средняя длина очереди.

Пусть величина Z – длина очереди 9количество бревен в очереди).

Возможные значения 0,1,2.

Средняя длина очереди – М(Z).

М(Z)= 0*(р₀ (t)+ р₁ (t)+ р₂(t)) + 1* р₃ (t)+ 2*р₄(t)

4) Коэффициент загрузки машин.

К_з = * 100 %

5) Коэффициент простоя машин.

К_п = * 100 %

Характеристики работы системы массового обслуживания в зависимости от времени.

М(Х)	М(У)	М(Z)	Кз	Кп	t
0	2	0,000000000	0	100	0
0,4365	1,5635	0,000000000	21,825	78,175	0,05
0,779153	1,220848	0,000000000	38,95763	61,04238	0,1
0,964967	1,035033	0,083167327	48,24837	51,75163	0,15
1,106507	0,893493	0,170659355	55,32537	44,67463	0,2
1,20076	0,79924	0,259161409	60,03801	39,96199	0,25
1,276313	0,723687	0,334229912	63,81567	36,18433	0,3
1,332882	0,667118	0,398773341	66,64408	33,35592	0,35
1,378782	0,621218	0,451539353	68,93909	31,06091	0,4
1,414874	0,585126	0,495062768	70,74371	29,25629	0,45
1,444173	0,555827	0,530348236	72,20865	27,79135	0,5
1,467635	0,532365	0,559082028	73,38176	26,61824	0,55
1,486656	0,513344	0,582334877	74,33279	25,66721	0,6
1,501988	0,498012	0,601190416	75,09938	24,90062	0,65
1,514405	0,485595	0,616444787	75,72024	24,27976	0,7
1,524438	0,475562	0,628796697	76,22189	23,77811	0,75
1,532559	0,467441	0,638789659	76,62795	23,37205	0,8
1,539127	0,460873	0,646877224	76,95633	23,04367	0,85
1,544442	0,455558	0,653420520	77,22208	22,77792	0,9
1,548741	0,451259	0,658715247	77,43705	22,56295	0,95
1,55222	0,44778	0,662999105	77,611	22,389	1

8.3. Графики функций К_з и К_п .