МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени С.М. Кирова»
(СПбГЛТУ)
Кафедра математических методов, моделирования и компьютерных технологий
Лабораторная работа №1
«Модели массового обслуживания»
Вариант 30
Выполнил : Сардарян Денис
д/о, ФЭУ IV курс 1 группа
Проверил: Гуров С.В.
Санкт-Петербург
2011г
Содержание
1.Цедь работы…………………………………………………………………….3
2.Условие дано……………………………………………………………………3
3.Определение возможных состояний СМО……………………………………3
4.Графическое состояния системы…………………………………………..…..3
5. Пусть pi- стационарная вероятность пребывания системы в состоянии Si i=0,1,2,3,4..………………………………………………………………………...3
6. Определение стационарных характеристик системы массового обслуживания……………………………………………………………………..4
7. Математическая модель нестационарного режима………………………….6
8.Анализ полученного решения…………………………………………………8
8.1. Графики функций pi(t)……………………………………………………..8
8.2 Характеристики работы системы массового обслуживания в зависимости от времени………………………………………………………….9
8.3 Графики функций К3 и Кп……………………………………………..…..11
9. Выводы…………………………………………………………………….…..11
1. Цель работы:
В цех состоящий из r рубительных машин простейший поток бревен с интенсивностью ƛ. Время обработки одного бревна имеет показательный закон распределения интенсивностью µ. Число мест для ожидания бревен в очереди перед поступлением в цех равно m.
Требуется определить характеристики работы цеха как системы массового обслуживания с ожиданием.
2.Условие (дано):
Интенсивность входящего потока заявок ƛ,час-1 =8,73
Интенсивность обслуживания заявки µ, час-1= 4,3
Количество каналов r=2
Возможная длина очереди m=2
3.Определение возможных состояний СМО.
Рассмотрим систему массового обслуживания: М/М/2/2
S0 - бревен в системе нет;
S1 - 1 бревно в системе, оно обрабатывается 1 машиной;
S2 - 2 бревна системе, они обрабатываются 2 машинами;
S3 - 3 бревна в системе, 2 обрабатывается в машине, 1 находится в очереди;
S4 – 4 бревна в системе, 2 обрабатывается в машине, 2 находятся в очереди.
4. Графическое состояние системы.
ƛ ƛ ƛ ƛ
S0
S1
S2
S3
S4
µ
2µ 2µ
2µ
5. пусть pi – стационарная вероятность пребывания в состоянии Si , i=0,1,2,3,4
Составим формально систему линейных алгебраических уравнений, неизвестными в котором являются эти вероятности.
S0 : -ƛр0 + µр1 = 0
S1 : ƛр0 –(µ +ƛ)р1 +2µр2 =0
S2: ƛр1 –(2µ +ƛ)р2 +2µр3 =0
S3: ƛр2 –(2µ +ƛ)р3 +2µр4 =0
S4: ƛр3 –2µр4 =0
В нашем случае:
S0 : -8,73р0 + 4,3р1 = 0
S1 : 8,73р0 –(4,3 +8,73)р1 +2*4,3р2 =0
S2: 8,73р1 –(2*4,3 +8,73)р2 +2*4,3р3 =0
S3: 8,73р2 –(2*4,3 +8,73)р3 +2*4,3р4 =0
S4: 8,73р3 –2*4,3р4 =0
|
Решение системы линейных алгебраических уравнений | ||||||
|
Р0 |
Р1 |
Р2 |
Р3 |
Р4 |
сумма |
|
|
0,107447 |
0,218142 |
0,22144 |
0,224787 |
0,228185 |
1 |
|
|
-8,73 |
4,3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
8,73 |
-13,03 |
8,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
8,73 |
-17,33 |
8,6 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
8,73 |
-17,33 |
8,6 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
8,73 |
-8,6 |
0 |
0 |
Найденные нами неизвестные вероятности удовлетворяют условию нормировки р0 + р1 + р3 + р4 = 1 , в нашем случае это 0,107447+ 0,218142+ 0,22144+ 0,224787+ 0,228185= 1
6.Определение стандартных характеристик системы массового обслуживания.
Р0=0,107447- вероятность, что в цехе нет бревен;
Р1= 0,218142- вероятность, что 1 бревно в системе, оно обрабатывается одной машиной;
Р2= 0,22144- вероятность, что 2 бревна в системе, они обрабатываются двумя машинами;
Р3=0,224787- вероятность, что 3 бревна в системе два обрабатывается машинами, одно в очереди;
Р4= 0,228185- вероятность, что 4 бревна в системе, два обрабатывается машинами и два в очереди.
1) Среднее число занятых машин.
Пусть случайная величина Х- число занятых машин, она может принимать значения 0,1,2.
М(Х)- среднее число занятых машин.
М(Х)= 0*р0 + 1*р1 + 2(р2 + р3 +р4)
М(Х)=0*0,107447+ 1*0,218142+2*(0,22144+00,224787+0,228185)=1,566964
2) Среднее число занятых машин.
Пусть величина У – число свободных машин, она может принимать значение 0,1,2.
Среднее число свободных машин – М(У).
М(У) = 0*(р2 + р3 + р4) + 1*р1 + 2*р0
М(У)=0*(0,22144+0,224787+0,228185)+ 1*0,218142+2*0,107447=0,433036
3) Средняя длина очереди.
Пусть величина Z – длина очереди 9количество бревен в очереди).
Возможные значения 0,1,2.
Средняя длина очереди – М(Z).
М(Z)= 0*(р0 + р1 + р2) + 1* р3 + 2*р4
М(Z)=0*(0,107447+0,218142+0,22144)+1*0,224787+2*0,228185=0,681156
4) Коэффициент загрузки машин.
Кз
=
* 100 %
Кз
=
*100
%=78,34822%
5) Коэффициент простоя машин.
Кп
=
*
100 %
Кп
=
*100
% =21,65178%
Проверка Кз + Кп = 100 %
Кз + Кп = 78,34822+ 21,65178= 100 %
На основе полученных данных можно сделать выводы , что рассматриваемый цех загружен сильно, так как коэффициент загрузки равен 78,34822% ( а коэффициент простоя равен 21,65178%). Средняя длина очереди равна 0,681156. Следует провести ряд мероприятий для улучшения работы цеха. Например, уменьшение входящего поток бревен или установит новые места для ожидания бревен в очереди.