Теория вероятностей
1. Предмет теории вероятностей
Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.
Под событием понимается такой результат наблюдения или эксперимента, который при осуществлении некоторого комплекса условий может произойти или не произойти. Каждое осуществление этого комплекса условий будем называть испытанием.
Если событие появляется при каждом испытании, то оно называется достоверным. Если событие не может появиться ни при каком испытании, то оно называется невозможным. Событие называется случайным, если в каждом испытании оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем случайное событие будем называть просто событием. События будем обозначать буквами A, B, C, … .
Пример 1. В урне находятся только белые и черные шары, наудачу извлекается 1 шар. Пусть событие A обозначает, что вынутый шар - белый или черный, событие B обозначает, что вынутый шар - синий, событие С обозначает, что вынутый шар - белый, событие D обозначает, что вынутый шар - черный. Очевидно, что A является достоверным, B - невозможным, а C и D - случайными событиями.
Приведем другие примеры случайных событий.
Пример 2. Испытание состоит в подбрасывании монеты. Событие A, состоящее в выпадении герба, и событие B, состоящее в выпадении числа, являются случайными.
Пример 3. Стрелок производит выстрел по мишени. Случайными являются событие A, состоящее в поражении цели, и событие B, состоящее в промахе.
Пример 4. Случайным является событие, состоящее в том, что в течение суток на АЗС прибыло от 100 до 120 автомашин.
Пример 5. Появление бракованной детали (или иной продукции) налаженного массового производства также представляет собой случайное событие.
Каждое случайное событие, например, выпадение герба при подбрасывании монеты, есть следствие действия очень многих случайных причин. Например, таких как форма монеты, сила и направление подбрасывания, температура и влажность воздуха и т.п. Невозможно учесть влияние всех этих причин на результат, поскольку число их очень велико и неизвестны законы их действия. Поэтому нельзя предсказать, произойдет единичное событие или нет. Если испытания могут повторяться многократно, то большое число случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям.
Пусть произведено
N
испытаний, A
- некоторое событие. Обозначим через
число тех из N
испытаний, в которых появилось событие
A.
Отношение
называется частотой событияA
в N
испытаниях.
Очевидны следующие свойства частоты события A:
1.
.
2. Если A
достоверное событие, то
.
3. Если A
невозможное событие, то
.
Представим себе эксперимент, состоящий в подбрасывании монеты. Данные этого эксперимента помещены в табл.1. Графическая иллюстрация эксперимента показана на рис.1. Видим, как изменяется относительная частота появления герба с ростом числа испытаний.
Таблица 1
-
Число испытаний
N
Относительная частота
выпадениия герба
5000
2448
10000
4964
15000
7562
20000
10011
25000
12486
30000
15098
32000
16067
Рис.1. Устойчивость частот
Существует обширный круг явлений, характеризуемый свойством устойчивости частот. Свойство устойчивости частот состоит в следующем: если найти частоты события A для нескольких достаточно длинных серий испытаний, то эти частоты будут мало отличаться одна от другой, причем эти отклонения будут вообще тем меньше, чем больше число испытаний.
Свойством устойчивости частот обладают, например, все события, приведенные выше.
Теорию вероятностей можно определить как область математики, занимающуюся исследованием математических моделей массовых случайных явлений, обладающих свойством устойчивости частот.
В истории развития теории вероятностей можно выделить 4 этапа, связанные с именами крупнейших математиков:
I этап - Б.Паскаль, П.Ферма, Я.Бернулли.
II этап - А.Муавр, П.Лаплас, Л.Гаусс, С.Пуассон.
III этап - П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов.
IV этап (современная теория) - С.Н.Бернштейн, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко и др.