ЭММ и ПМ - 2009

21

тельно которого можно с заранее выбранной вероятностью утвер% ждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитыва% ется величина U(k), которая для линейной модели имеет вид:

S — стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от линии тренда), (n – p) — число степеней свободы (p = 2 для линей% ной модели yˆt a0 a1t ). Для других моделей величина U(k) рас% считывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид. Коэффициент t ,n является табличным значением t статисти% ки Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблю% дений n.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие гра% ницы:

верхняя граница прогноза = Yпрогноз(n + k) + U(k);

нижняя граница прогноза = Yпрогноз(n + k) – U(k).

С заданной доверительной вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогно% зируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей. После получения прогнозных оценок необходи% мо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, по% лученным иным способом.

Более эффективными методами прогнозирования являются адаптивные методы, учитывающие информационную неравноцен% ность данных. Цель адаптивных методов заключается в построении самокорректирующихся ЭММ, которые способны отражать изме% няющиеся во времени условия и давать достаточно точные оценки будущих членов временнóго ряда.

22

Общая схема построения адаптивных моделей:

по нескольким первым наблюдениям ряда оцениваются значе% ния параметров модели;

по имеющейся модели дается прогноз на один шаг, причем его отклонение от фактических значений ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в модели;

по модели со скорректированными параметрами рассчитывает% ся прогнозная оценка на следующий момент времени, и весь про% цесс повторяется до исчерпания фактических членов ряда. Таким образом, модель адаптируется;

прогнозирование на будущее осуществляется с использовани% ем параметров, определенных на последнем шаге по последним фактическим наблюдениям ряда.

Метод Брауна основан на экспоненциальном сглаживании. Эта% пы построения линейной адаптивной модели Брауна двумя спосо% бами, связанными с различными представлениями формул, рас% смотрены в [1, 2].

Освоить навыки автоматизации расчетов и графического пред% ставления результатов моделирования и прогнозирования сред% ствами Microsoft Excel можно с помощью [2–6, 8, 19, 21].

Тема 5. Некоторые прикладные модели планирования

иуправления

Вэтой теме рассматриваются основы следующих разделов: моде% ли оптимизации в инвестиционном анализе, модели управления материальными потоками, модели технологической подготовки производства и формирования производственной программы.

Необходимо уметь использовать модели линейного программи% рования для решения некоторых задач инвестирования финансов: например, выбрать такие способы вложения денег под проценты, которые позволяют максимизировать доход операции или миними% зировать ее риск (задачи об инвестициях, об оптимальном портфе% ле). Учебная литература по данной теме: [2, 12, 18, 19].

Во втором разделе этой темы рассматриваются математические мо% дели, позволяющие найти оптимальный уровень запасов, минимизи% рующий сумму издержек. Под задачей управления товарными запаса%

23

ми понимается такая оптимизационная задача, в которой задана ин% формация: о поставках товара; о спросе на товар; об издержках и усло% виях хранения товарных запасов; критерий оптимизации. В качестве параметров в этих задачах принимаются величина имеющихся на складе запасов, допустимые колебания уровня запасов, размеры заказа на пополнение запасов, его периодичность и др. Одной из основных моделей управления запасами (для «идеальной» работы склада) явля% ется модель экономически выгодных размеров заказываемых партий, на основе которой получена формула Уилсона [1, 17, 18, 22]:

QОПТ 2KM . h

Размер партии Q оптимален тогда и только тогда, когда издерж% ки хранения за время цикла Т равны накладным расходам К (М — скорость расходования запасов со склада, h — удельные издержки хранения).

К моделям технологической подготовки производства и форми% рования производственной программы относятся задачи о раскрое, о смесях, а также задача Л.В. Канторовича и задача оптимизации загрузки производственных мощностей.

Задача о раскрое — это задача на оптимальное и комплексное рас% пределение сырья или заготовок с наименьшими отходами производ% ства, решаемая методами линейного или целочисленного програм% мирования. Примеры задач о раскрое встречаются в [1, 16, 17, 19].

Задачи о смесях — это задачи по отысканию наиболее дешевого набора из определенных исходных материалов, обеспечивающих получение смеси с заданными свойствами. Получаемые смеси дол% жны иметь в своем составе n различных компонентов в определен% ных количествах, а сами компоненты являются составными частя% ми m исходных материалов. Задачи о смесях являются, как прави% ло, ЗЛП. ЭММ задач о смесях и методы решения этих задач мож% но найти в [1, 2, 6, 8, 16, 18].

Задача Л.В. Канторовича — это задача оптимального использования ограниченных ресурсов, описание ее приводится в теме 2. Модель ра% ционального использования имеющихся мощностей, как и задача Л.В. Канторовича, относится к ЗЛП. Эта модель разработана для составле% ния оптимального плана работы участков, а именно требуется найти, сколько времени i%й участок будет занят изготовлением j%й продукции

24

с тем, чтобы общие издержки были наименьшими. Материал по этому разделу содержится в учебной литературе [1, 2, 18].

3. Методические указания по написанию контрольной работы

Представление итогов проделанной самостоятельной работы осу% ществляется студентом в виде домашней контрольной работы, кото% рая состоит из двух частей: теоретической и практической. Как пра% вило, в теоретическую часть контрольной работы включаются вопро% сы учебной программы, которые не были достаточно полно освеще% ны на лекциях. В теоретической части должен содержаться неболь% шой объем теоретических знаний по заданной теме, причем необхо% димо подкрепить изложенный материал примером с решением.

Порядок оформления контрольной работы

Контрольная работа выполняется и защищается в установленные деканатом сроки.

Титульный лист контрольной работы должен содержать все необ% ходимые реквизиты: названия института и факультета; наименова% ние учебной дисциплины; номер группы и номер зачетной книжки, ФИО студента и преподавателя. Образец оформления титульного листа приведен в Приложении 1.

Работа без указания номера зачетной книжки и номера группы проверке не подлежит, при отсутствии ФИО преподавателя уста% новленные сроки проверки работы могут быть нарушены.

Решение задач контрольной работы должно сопровождаться не% обходимыми комментариями, то есть все основные моменты про% цесса решения задачи должны быть раскрыты и обоснованы на ос% нове соответствующих теоретических положений. Для решения задач допустимо использование средств Excel.

К собеседованию допускаются студенты, выполнившие правиль% но и в полном объеме все задания контрольной работы.

Для получения зачета по результатам собеседования студент дол% жен знать теоретические основы тематики задач контрольной рабо% ты и уметь ответить на конкретные вопросы по содержанию прове% ренной работы.

25

Номер вашего варианта (для задач 2–4) соответствует последней цифре зачетной книжки (если преподавателем не задан другой по% рядок выбора варианта). Номер вопроса из теоретической части определяет преподаватель.

Задания контрольной работы

Задание 1. Изложить материал по выбранной теме. Проиллюстрировать теоретические положения примерами

1.1.Особые случаи решения ЗЛП графическим методом.

1.2.Симплекс%метод с искусственным базисом (М%задача).

1.3.Особые случаи решения ЗЛП симплексным методом.

1.4.Анализ оптимального плана задачи об использовании ресур% сов с использованием двойственных оценок.

1.5.Двойственные оценки как мера дефицитности ресурсов про% дукции.

1.6.Двойственные оценки как мера влияния ограничений на фун% кционал.

1.7.Двойственные оценки как инструмент определения эффек% тивности отдельных вариантов.

1.8.Двойственные оценки как инструмент балансирования сум% марных затрат и результатов.

1.9.Интервалы устойчивости двойственных оценок.

1.10.Решение транспортной задачи методом потенциалов.

1.11.Целочисленное программирование.

1.12.Задача о коммивояжере.

1.13.Особые случаи задачи о назначениях.

1.14.Задача нелинейного программирования.

1.15.Метод оптимизации Лагранжа.

1.16.Балансовые модели*

1.17.Экономико%математическая модель межотраслевого баланса*.

1.18.Признаки продуктивности матрицы прямых материальных затрат*.

* Для студентов, обучающихся по направлению 521600 (080100) «Бакалавр экономики».

27

ниц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Исход% ные данные приведены ниже.

Построить экономико%математическую модель задачи, дать необ% ходимые комментарии к ее элементам и получить решение графи% ческим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум,

ипочему?

2.3.Фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обыч% ный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный — 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфор% ных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный — 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нуж% но купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и ми% нимизировать стоимость?

Построить экономико%математическую модель задачи, дать необ% ходимые комментарии к ее элементам и получить решение графи% ческим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум,

ипочему?

2.4.На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои — 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей — 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы прине% сет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои — 6 ден. ед. Однако, соглас%

28

но этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в тече% ние нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость ко% торого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектаров нужно засеять каж% дой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Построить экономико%математическую модель задачи, дать необ% ходимые комментарии к ее элементам и получить решение графи% ческим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум,

ипочему?

2.5.Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наруж% ных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены ниже.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каж% дого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико%математическую модель задачи, дать необ% ходимые комментарии к ее элементам и получить решение графи% ческим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум,

ипочему?

2.6.Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует кли% ента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 тыс. долл.) в два наименования ак% ций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси». Анализи%

29

руются акции «Дикси%Е» и «Дикси%В». Цены на акции: «Дикси%Е» — 5 долл. за акцию; «Дикси%В» — 3 долл. за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименова% ний, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС», прибыль от инвестиций в эти две акции в сле% дующем году составит: «Дикси%Е» — 1,1 долл.; «Дикси%В» — 0,9 долл.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту реко% мендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико%математическую модель задачи, дать необхо% димые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

2.7.Завод%производитель высокоточных элементов для автомо% билей выпускает два различных типа деталей Х и Y. Фонд рабоче% го времени равен 4000 чел./ч в неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел./ч, а для производства одной детали типа Y — 2 чел./ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей Х и 1750 деталей Y в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необ% ходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10 т в неделю. Еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоян% ному заказчику. По профсоюзному соглашению общее число произ% водимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы мак% симизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y — 40 ден. ед.?

Построить экономико%математическую модель задачи, дать необ% ходимые комментарии к ее элементам и получить решение графи% ческим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум,

ипочему?

2.8.Имеется два вида корма I и II, содержащие питательные ве% щества (витамины) S1, S2 и S3. Содержание числа единиц питатель%

30

ных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены ниже.

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед. Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную

стоимость.

Построить экономико%математическую модель задачи, дать необхо% димые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

2.9. При производстве двух видов продукции используется четы% ре типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство едини% цы продукции, общий объем каждого ресурса приведены ниже.

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида — 3 ден. ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Построить экономико%математическую модель задачи, дать необхо% димые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

2.10. Фирма производит два безалкогольных напитка — «Лимо% над» и «Тоник». Однако объем производства ограничен количе% ством основного ингредиента и производственной мощностью име%