- •Лекция 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •3. Уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим дифференциальное уравнение вида (4)
- •Общий интеграл его есть .
- •4. Однородные уравнения первого порядка
- •5. Линейные уравнения первого порядка.
- •6.Уравнения в полных дифференциалах
- •1. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка
- •2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства
- •3. Однородные линейные дифференциальные уравнения
- •4. Линейная независимость функций
- •5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •6. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)
- •7. Метод неопределенных коэффициентов
- •1. Числовые ряды. Сходимость и сумма рядов. Необходимый признак сходимости.
- •2. Достаточные признаки сходимости для рядов с положительными членами
- •3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница
- •Из (*) следует . (2)
- •Теорема умножения вероятностей:
- •Определение. Математическим ожиданием дсв х с законом распределения вероятностей
- •2.3 Планы практических занятий
Из (*) следует . (2)
Формула (2) называется формулой произведения вероятностей. В общем случае имеет место следующая теорема.
Теорема умножения вероятностей:
Пусть А1, А2,…An - некоторые события, тогда
.
Определение. Событияназываются независимыми, если вероятность появление любого из нихне зависит от того произошли или нет любые изостальных событий. В частности,если события и независимы, то
Теорема умножения вероятностей для независимых событий:
Пусть события независимы, тогда вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
Теорема. Пустьсобытия А1,А2,…,Аn попарно несовместны и событие В может наступить с одним из событий , . Тогда
P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+…+P(An)P(B/An).
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Теорема Байеса. Пустьсобытия А1,А2,…,Аn попарно несовместны и событие В может наступить с одним из событий , . Тогда гдеР(В)находится по формуле полной вероятности.
Повторение испытаний. Пусть проводится независимых испытаний; причем, каждое отдельное испытание имеет только два исхода: рассматриваемое событие наступило (удача) и рассматриваемое событие не наступило (неудача), и в каждом отдельном испытании вероятность наступления рассматриваемого события (удачи) постоянна и обозначается .Обозначим - вероятность наступления рассматриваемого события раз в независимых испытаниях. Справедлива формула Бернулли: . Здесь q есть вероятностьнаступления неудачи в отдельном испытании и q = 1 - p.
При достаточно больших значениях nискомую вероятность вычисляют приближенно полокальной формуле Муавра – Лапласа: , где иq = 1 – p
Функцией называется функция вида .Функция табулируемая, т.е. есть таблица значений этой функции.
Обозначим через Pn(k1,k2)вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрамиn, pчислоkнаступлений событияАудовлетворяет неравенству Назовем функцией Лапласа функцию вида . Функция табулируема и в таблице даны значения функции для , так как при выполняется условие .Обозначим . Cправедлива приближеннаяинтегральная формула Муавра- Лапласа: .
Пусть остается постоянным и . Тогда для любого целого справедливаприближенная формула Пуассона:
Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения ДCВ
Определение. Случайнаявеличиной Хназывается величина, которая в результате испытания может принимать различие заранее неизвестные значения, причем только одно.
Определение. Случайнаявеличина Х называется дискретной (ДСВ), если она может принимать только конечное или счетное множество значений.
Пример: Число выигрышных билетов среди трех купленных билетов ; число бракованных изделий среди п изделий партии , количество ненастных дней в году и т.д.
Определение. Законом распределенияДСВ называется таблица,в одной строке которой стоят всевозможные значения этой величины, а в другой- вероятности их появления.
Обозначим: - значения ДСВ Х; , .
Тогда закон распределения ДСВ имеет вид
… | |||
… |
Сумма всех вероятностей в законе распределения ДСВ всегда равна единице: .
Пример. Пусть Х - число,выпавшее при бросании игральной кости, закон распределения Х имеет вид
-
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
В данном примере .
Рассмотрим теперь некоторые стандартные примеры ДСВ. Биномиальным законом распределения ДСВ Х называется распределение при котором определяются формулой Бернулли.
|
0 |
1 |
… |
k |
… |
n-1 |
n |
npqn-1 |
… |
… |
npn-1 |
pn |
Закон распределения ДСВ называется пуассоновским, если вероятности определяются формулой Пуассона.
Пусть Х- случайная величина, аx- любое действительное число.
Определение. Функцией распределения вероятностиХназывается функция действительного переменногох,равная вероятности того, что Х примет значение меньшеx, т.е. Геометрически эта вероятность равна вероятности попадания значенияхв промежуток
Пример. Рассмотрим дискретную величинуХ со следующим законом распределения
-
1
4
8
0,3
0,1
0,6
Найдем ее функцию распределения вероятностей: а) если то ()=0, в)если то ()=(=1)=0,3; c)если то ()=((=1)+(=4))=0,3 +0,1=0,4;
d) если >8, то ()=((=1)+(=4)+(=8))=0,3+0,1+0,6=1.
Окончательно получим, что
Рассмотрим свойства функции распределения вероятностей.
Свойство 1. Функция F(x) определена на всей числовой оси и принимает свои значение из промежутка [0,1]: 1. Это свойство следует из определенияF(x) и свойств вероятности.
Свойство 2. Если любые числа, то вероятность того, что значение Х попадет в промежуток , равна
Свойство 3.Функция не убывает для всех х.
Это свойство непосредственно следует из предыдущего, поскольку при выполняется .
Свойство 4. Для любой случайной величиныХ верно:
В частности, если всевозможные значения Х принадлежит отрезку , то при >b и при