![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция 9. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •3. Уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим дифференциальное уравнение вида (4)
- •Общий интеграл его есть .
- •4. Однородные уравнения первого порядка
- •5. Линейные уравнения первого порядка.
- •6.Уравнения в полных дифференциалах
- •1. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка
- •2. Линейный дифференциальный оператор и его свойства
- •3. Однородные линейные дифференциальные уравнения
- •4. Линейная независимость функций
- •5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •6. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)
- •7. Метод неопределенных коэффициентов
- •1. Числовые ряды. Сходимость и сумма рядов. Необходимый признак сходимости.
- •2. Достаточные признаки сходимости для рядов с положительными членами
- •3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница
- •Из (*) следует . (2)
- •Теорема умножения вероятностей:
- •Определение. Математическим ожиданием дсв х с законом распределения вероятностей
- •2.3 Планы практических занятий
4. Однородные уравнения первого порядка
Определение 1.Функция
называетсяоднородной функцией
-го
измерения относительно переменных
и
,
если при любом
справедливо тождество
.
Пример. Показать однородность
функции.
- однородная функция нулевого измерения.
Определение 2. Уравнение
первого порядка
(8)
называется однородным уравнением,
если функция
есть однородная функция нулевого
измерения относительно
и
.
Метод решения однородного уравнения
следующий. По условию
.
Положим в этом тождестве
,
получим
,
т.е. однородная функция нулевого измерения
зависит только от отношения аргументов.
Уравнение (8) в этом случае примет вид
.
(9)
Сделаем подстановку
,
т.е.
.
Тогда будем иметь
.
Подставляя это выражение производной в уравнение (9) получим
.
Это уравнение с разделяющимися
переменными:
,
.
Интегрируя, найдем
.
Подставляя после интегрирования вместо
отношение
,
получим интеграл уравнения (8).
Замечание.Уравнение видабудет однородным в том и только в том
случае, когда
и
являются однородными функциями одного
и того же измерения. Это вытекает из
того, что отношение двух однородных
функций – функций одного и того же
измерения является однородной функцией
нулевого измерения.
5. Линейные уравнения первого порядка.
Определение.Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида
, (10)
где
и
-
непрерывные функции от
.
Будем искать решение уравнение (10) в
виде произведения двух функций от
.
(11)
Дифференцируя обе части равенства (11),
находим
.
Подставляя полученное значение
производной
в уравнение (10), имеем
,
или
.
(12)
Выберем функцию
такой, чтобы
(13)
Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим
,
.
Интегрируя, получим
,
или
.
Так как нам достаточно какого-нибудь
отличного нуля решения уравнения (13),
то за функцию
возьмем
(14)
Очевидно, что
.
Подставляя найденное значение
в (12) и, учитывая (13), получим
или
;
.
Подставляя значения
и
в формулу (11), получаем
.
(15)
Пример.Решить уравнение.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Замечание:При нахождении решения линейного уравнения (10) можно пользоваться формулой (15).
6.Уравнения в полных дифференциалах
Рассмотрим дифференциальное уравнение
.
(16)
Предположим, что
,
дифференцируемые в некоторой области
.
Определение.Если левая часть
уравнения (16) представляет собой полный
дифференциал некоторой функции,
то (16) называетсяуравнением в полных
дифференциалах.
Другими словами, уравнение (16) представляется
в виде
;
откуда,
интегрируя, найдем общий интеграл
.
Теорема.Для того чтобы уравнение
(16) было уравнением в полных дифференциалах,
необходимо и достаточно, чтобы в областивыполнялось условие
(17)
Лекция 10. Дифференциальные уравнения высшего порядка