Затухающие колебания

В реальных колебательных системах кроме квазиупругих сил присутствуют силы сопротивления среды. Наличие сил трения приводит к рассеянию (диссипации) энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период, т.е. уменьшает частоту колебаний. Такие колебания не будут гармоническими.

Колебания с непрерывно уменьшающейся во времени амплитудой вследствие рассеяния энергии называются затухающими. При достаточно малых скоростях сила трения пропорциональна скорости тела и направлена против движения

, (20)

где r– коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний при наличии сил трения будет иметь вид

или(21)

где - коэффициент затухания,- собственная круговая частота свободных колебаний при отсутствии сил трения.

Общим решением уравнения (21) в случае малых затуханий () является

. (22)

Оно отличается от чисто гармонического (8) тем, что амплитуда колебаний

(23)

является убывающей функцией времени, а круговая частота связана с собственной частотойи коэффициентом затуханиясоотношением

. (24)

Период затухающих колебаний равен

. (25)

Зависимость смещения Х от tзатухающих колебаний представлена на рис.4.

Cтепень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания. За времяамплитуда (23) уменьшается в е ≈ 2,72 раз. Это времяестественного затухания называют временем релаксации. Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная времени релаксации

.(26)

Скорость уменьшения амплитуды колебаний характеризуется логарифмическим декрементом затухания . ПустьА(t) и А(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на один период. Тогда отношение

(27)

называется декрементом затухания, который показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду. Натуральный логарифм этого отношения

(28)

называется логарифмическим декрементом затухания. Здесь, N_e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз, т.е. за время релаксации.

Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по прошествии которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Скорость уменьшения энергии колебательной системы характеризуется добротностью Q. Добротностью колебательной системы называется величина, пропорциональная отношению полной энергии Е(t) колебательной системы к энергии (-Е), теряемой за период Т:

(29)

Полная энергия колебательной системы в произвольный момент времени и при любом значении Х имеет вид

(30)

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, энергия затухающих колебаний уменьшается пропорционально величине , можно написать

. (31)

Тогда, согласно определению, выражение для добротности колебательной системы будет иметь вид

. (32)

Здесь учтено, что при малых затуханиях (1): 1-е^-2  2.

Следовательно, добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Добротность колебательных систем может сильно различаться, например, добротность физического маятника Q~ 10², а добротность атома, который тоже является колебательной системой, достигаетQ~ 10⁸.

В заключение отметим, что при коэффициенте затухания β=ω₀ период становится бесконечным Т =∞ (критическое затухание). При дальнейшем увеличении β период Т становится мнимым, а затухание движения происходит без колебаний, как говорят, апериодически. Этот случай движения изображен на рис.5. Критическое затухание (успокоение) происходит за минимальное время и имеет важное значение в измерительных приборах , например, в баллистических гальванометрах.