NG

1.Наибольшее применение на практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемой фигуры. Такой чертеж называется комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом.

Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекции П1 располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П2 , которая располагается вертикально, называется фронтальной плоскостью проекций.

A' - точка в плоскости xy - горизонтальная проекция

A'' - точка в плоскости xz - фронтальная проекция

A''' - точка в плоскости yz - профильная проекция

2.Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум

пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

3.Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскости проекций на КЧ необходимо построить прямоугольный треугольник:

- первый катет этого треугольника равен проекции отрезка на плоскости проекций (обычно прямоугольный треугольник пристраивают к проекции отрезка, однако в некоторых задачах целесообразно прямоугольный треугольник строить в стороне от проекций геометрических объектов);

- из проекции любого конца отрезка под прямым углом к проекции отрезка проводится луч, на котором откладывается длина второго катета, равная разности расстояний от концов отрезка до данной плоскости проекций;

- гипотенуза полученного таким образом прямоугольного треугольника равна действительной величине заданного отрезка.

4.- параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют ни одной

общей точки, а их одноименные проекции параллельны;

- пересекающиеся прямые имеют одну общую точку; одноименные

проекции этих прямых пересекаются в точках, находящихся на одной линии

связи;

- взаимно перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом, который проецируется в истинную величину на плоскость проекций в том случае, если одна из его сторон параллельна, а другая не перпендикулярна этой плоскости проекций;

- скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не имеют ни

одной общей точки, поэтому точки пересечения их одноименных проекций не

лежат на одной линии проекционной связи.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости. Две плоскости взаимно параллельны, если

две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

5.Плоскость общего положения – это плоскость, не параллельная и не перпендикулярная плоскостям проекций

Плоскостью частного положения называют плоскость, перпендикулярную или параллельную плоскостям проекций. Плоскости частного положения подразделяют на проецирующие и плоскости уровня.

Проецирующая плоскость – это плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций.

Плоскостью уровня называют плоскость, параллельную плоскости проекций.

6.Прямая и точка в плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Из элементарной геометрии известно, что прямая принадлежит плоскости, если:

oна проходит через две точки, принадлежащие плоскости;

oна проходит через 1 точку, принадлежащую плоскости, и параллельна прямой, лежащей в плоскости.

Главные линии плоскости.

Прямые, принадлежащие заданной плоскости и плоскости уровня, называются линиями уровня.

Прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные к линиям уровня, называются линиями наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций. Иногда линию наибольшего наклона плоскости к плоскости Н называют линией наибольшего ската.

Линии уровня плоскости

Кроме прямых линий общего положения, в плоскости отмечают три главные линии: горизонтальную (горизонталь), фронтальную (фронталь) и линию наибольшего наклона. Эти линии применяют как вспомогательные: они упрощают решение задач. Две из них — горизонтальная и фронтальная — уже рассматривались.

Необходимо добавить, что все горизонтальные линии плоскости параллельны между собой, а их горизонтальные проекции параллельны горизонтальному следу плоскости (рис. 65). Горизонтальный след плоскости — одна из горизонталей.

7.Для определения точки пересечения прямой с плоскостью прямую заключают в дополнительную секущую плоскость-посредник, строят линию пересечения посредника с заданной плоскостью, а затем находят точку пересечения полученной и заданной прямых линий. Это искомая точка.

8.Чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, достаточно

найти точки пересечения любых двух прямых, принадлежащих первой плоскости, со второй плоскостью.

Видимость отрезка прямой линии определяют по конкурирующим точ-

кам.

9.Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве пересекающихся прямых плоскости выбирают горизонталь h и фронталь f плоскости, так как именно к этим линиям уровня применима теорема о проецировании прямого угла.

Таким образом, если прямая (нормаль) перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости.

Если прямая и плоскость взаимно перпендикулярны, то на плане в проекциях с числовыми отметками проекция прямой (нормали) параллельна масштабу заложения (перпендикулярна к проекциям горизонталей плоскости), числовые отметки нормали и плоскости увеличиваются в противоположных направлениях, а интервал нормали по величине обратно пропорционален интервалу плоскости. Графически интервал нормали (см. рис. 38) определен из подобия прямоугольных треугольников.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит

через перпендикуляр к другой

10.Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости. Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

. Теорема. Если две пересекающиеся прямые (АВ и АС, черт. 8) одной плоскости

(Р) соответственно параллельны двум прямым (А1В1 и А1С1) другой плоскости (Q), то эти плоскости параллельны.

Теорема. Если две параллельные плоскостu (Р и Q черт. 9) пересекаются третьей плоскостью (R), то линии пересечения (АВ и СD) параллельны.

Теорема. Отрезкu параллельных прямых (АС и ВD черт. 9), заключённые между параллельными плоскостями (Р и Q), равны.

Теорема. Два угла (ВАС и В1А1С1, черт. 10) с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях (Р и Q).

11.Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

12. Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Способ заключается в том, что данную геометрическую фигуру вращают вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, так, чтобы получить частное положение относительно тех же плоскостей проекций. Этот способ для решения некоторых задач более удобен, чем способ замены плоскостей проекций.

13. Способ плоско-параллельного перемещения

Плоскопараллельным перемещением геометрической фигуры в пространстве называется такое ее перемещение, при котором все точки фигуры перемещаются в параллельных друг другу плоскостях. При этом строятся новые проекции фигуры в частном положении по отношению к прежним плоскостям проекции.

При параллельном переносе геометрической фигуры относительно плоскости проекции, проекция фигуры на эту плоскость хотя и меняет свое положение, но остается конгруентной проекции фигуры в ее исходном положении.

14. Способ вращения вокруг линии уровня

Этот способ применяется в основном для решения задачи преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня. Суть способа заключается в том, что плоскость общего положения, поворачивается вокруг прямой уровня до состояния, параллельного либо горизонтальной П1 либо фронтальной П2 плоскостям проекций.

15.Задание поверхностей на чертеже

Для построения проекционных изображений кривых поверхностей на ортогональном чертеже необходимо выяснить, проекции каких элементов поверхности необходимо задать для того, чтобы получить обратимый чертеж этой поверхности.

Поверхность считается заданной на чертеже если:

можно построить любую ее образующую;

по одной проекции точки, принадлежащей данной поверхности, можно построить ее вторую проекцию;

относительно любой точки, заданной на чертеже, можно однозначно решить, принадлежит ли она поверхности или нет.

В отличие от точек и линий, которые на комплексном чертеже задают своими проекциями, задание поверхности проекциями всех ее точек, во-первых, неэкономно, а во-вторых, ненаглядно, т.к. получим два поля проекций (П1 и П2), между которыми и должно быть установлено некоторое соответствие. Этот способ задания поверхности не применяется в инженерной практике. На чертежах в инженерной графике применяют графический способ, когда поверхность задается проекциями тех точек и линий, которые определяют ее однозначно. Например, плоскость на чертеже можно задать проекциями трех ее точек, проекциями параллельных линий и т.д.

Рельеф поверхности земли на топографической карте приближенно может быть задан каркасом горизонталей. Такой способ задания поверхности каркасом линий называется каркасным.

Аналитический способ задания поверхности находит широкое применение в практике, особенно, если требуется исследовать свойства поверхности. При конструировании поверхностей технических объектов и их воспроизведении на станках с программным управлением используются совместно графические и аналитические способы задания поверхностей.

Графический способ задания кинематической поверхности предполагает задание на ортогональном чертеже элементов так называемого определителя поверхности, т.е. независимых параметров и условий, однозначно определяющих эту поверхность. Условиями, включенными в определитель поверхности, могут быть также условия изменения формы. Поверхность задается проекциями элементов определителя: точками, образующими и направляющими линиями, параметрами формы.

Определитель поверхности

Кинематический способ образования поверхности можно представить как множество положений движущейся линии или поверхности.

Этот способ дает возможность сформулировать понятие определителя поверхности. Под этим понятием обычно подразумевают необходимую и достаточную совокупность геометрических фигур и кинематических связей между ними, которые однозначно определяют поверхность.

Определитель поверхности состоит из двух частей:

Геометрической части - совокупности геометрических фигур, с помощью которых можно образовать поверхность.

Алгоритмической части - алгоритма формирования поверхности при помощи фигур, входящих в геометрическую часть определителя.

Чтобы найти определитель поверхности, следует исходить из кинематического способа образования поверхности.

Для того чтобы построить чертеж поверхности, необходимо предварительно выявить ее определитель. Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или ее основных свойств. В общем случае поверхность может быть образована несколькими способами и поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший.

Поверхность на чертеже задают проекциями геометрической части ее определителя. Определитель кривой поверхности Ф может быть записан в символической форме: Ф(Г)[А], где (Г) - геометрическая часть, [А] - алгоритмическая часть. Для каждой поверхности обе части определителя имеют вполне конкретное содержание.

Поверхность считается заданной на комплексном чертеже, если относительно любой точки пространства, заданной на чертеже, можно однозначно решить вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Построение проекций любых точек и линий, принадлежащих поверхности, а также второй их проекции, если одна задана, выполняется на основании ее определителя.

16.17.

Поверхности вращения – поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси (рис. 51, а). Направляющей поверхности вращения является окружность постоянного (цилиндр) или переменного радиуса (конус, сфера). Нормальное – перпендикулярное оси вращения сечение любой поверхности вращения, представляет собой окружность с центром на ее оси.

Широкое применение в технике нашли поверхности вращения. Среди поверхностей вращения можно особо выделить торы, сферу, глобоид, конусы вращения, цилиндры вращения, эллипсоид вращения, параболоид вращения, однополостный и двухполостный гиперболоиды

(рисунки 9.4в и 9.5а).

Тор – поверхность вращения, образованная вращением окружности (дуги окружности) вокруг компланарной с ней прямой (оси тора). Ось вращения тора не совпадает с центром окружности. Если центр окружности принадлежит оси вращения, то образуется сферическая поверхностью.

Торы характеризуются большим многообразием форм. На рисунке 9.4в приведены лишь торы, образуемые вращением полной окружности вокруг оси, не совпадающей с её центром. ). Различают открытый тор, образованный вращением окружности вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 52, б) и закрытый тор, образованный вращением окружности вокруг оси, которая пересекает образующую окружность или касается ее

Глобоид является частным случаем тора. Конические и цилиндрические поверхности вращения образуются при вращении прямой линии вокруг оси. Если образующая пересекается с осью, то образуется прямой круговой конус, если она параллельна оси, то образуется прямой

круговой цилиндр. При вращении эллипса, параболы и гиперболы вокруг осей образуются соответственно эллипсоид, параболоид, одно- и двухполостный гиперболоиды вращения

Поверхность вращения называют закрытой, если меридиональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пересекающей ось поверхности в двух точках.

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой n-го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения, в общем случае, 2n–го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка.

Плоские кривые линии

Можно дать несколько различных определений кривой линии как геометрическому образу. Одно из них: кривая линии есть траектория перемещающейся точки.

Если кривая линия совмещается всеми точками с плоскостью, ее называют плоской. Порядком плоской алгебраической кривой считают максимальное число точек ее пересечения с прямой линией. К плоским кривым относятся все кривые второго порядка, подробно изучаемые в аналитической геометрии. На рис. 1 показано построение этих кривых и приведены их канонические уравнения.

При равных осях эллипс превращается в окружность, являющуюся геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от данной точки О

Кривые второго порядка широко используются в теории и практике. В частности, они являются траекториями движения электронов.

18.Понятие о линейчатой поверхности

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении прямой линии в пространстве по какому-либо закону. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности. Обычно закон движения образующей задаётся с помощью направляющих линий. В общем случае для задания линейчатой поверхности необходимы три направляющие линии

В зависимости от формы направляющих линий линейчатые поверхности с тремя направляющими подразделяются на:

косой цилиндр с тремя направляющими – все три направляющие кривые линии;

конусоид – две направляющие кривые линии, а третья – прямая;

однополостный гиперболоид – все направляющие прямые линии.

Для построения точки на линейчатой поверхности необходимо воспользоваться вспомогательной линией, в качестве которой используют прямолинейную образующую или произвольную кривую линию.

Помимо указанного общего способа образования линейчатой поверхности при помощи трёх направляющих существуют и другие способы, которые путём наложения дополнительных ограничений определяют закон движения прямолинейной образующей.

Линейчатые поверхности:

Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями, т.е. при перемещении по ним образующей.

В качестве образующих поверхности используются прямые и кривые линии. Если образующей является прямая, то поверхность называется линейчатой, если кривая линия – нелинейчатой (рисунок 9.1е, ж).

Поверхности можно классифицировать по числу направляющих.

Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Следовательно, чтобы задать линейчатую поверхность на эпюре Монжа, достаточно указать проекции трех её направляющих. Третью направляющую при этом необходимо задать так, чтобы она находилась внутри конгруэнции прямых, определяемой двумя уже взятыми направляющими.

Линейчатые поверхности делятся на развёртывающиеся и не развёртывающиеся.

К развёртывающимся относятся: цилиндрические поверхности, конические поверхности, поверхности с ребром возврата (торса), призматические поверхности, пирамидальные поверхности.

Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется

тремя направляющими линиями.

Поверхность дважды косого цилиндроида (рисунок 9.3а) образуется в том случае, когда две из трех направляющих – кривые линии, в третья –прямая линия. Поверхность однополостного гиперболоида может быть получена при движении прямолинейной образующей по трем скрещивающимся прямым, не параллельным одной плоскости. Очерковой образующей такой поверхности будет являться гипербола. Примером практического использования гиперболоидов в технике является башня инженера Шухова.

Поверхность прямого коноида (рисунок 9.3б) может быть получена в том случае, когда из двух направляющих одна является прямой линией. Для задания на эпюре прямого коноида необходимо указать проекции кривой и прямой направляющих и плоскости параллелизма. Косая плоскость или гиперболический параболоид может быть получен при скольжении прямой по двум крещивающимся прямолинейным направляющим, при этом образующая все время остается параллельной плоскости параллелизма в соответствие с рисунком 9.3б.

Линейчатые поверхности с одной направляющей (торсы) образуются, когда образующая (прямая линия) движется по кривой направляющей. Если образующая параллельна какому-либо направлению или пересекается с другими положениями образующей в несобственной точке, то образуются цилиндрические поверхности (рисунок 9.3в). Если все прямолинейные образующие пересекаются в собственной точке S, то образуются конические поверхности (рисунок 9.3в).

Линейчатые поверхности, образованные одной направляющей, называются торсами. Торсом называют линейчатую поверхность, которую можно совместить всеми её точками с плоскостью без складок и разрывов.

К линейчатым поверхностям с одной направляющей относятся поверхность с ребром возврата, цилиндрическая и коническая поверхности.

19. Поверхность может быть образована двумя направляющими и одной направляющей плоскостью, при этом образующая составляет с направляющей плоскостью какой-либо угол, сохраняемый при перемещении образующей. Если образующая всегда будет параллельна направляющей плоскости, то в этом случае направляющая плоскость называется плоскостью параллелизма.

Репер линейчатой поверхности с плоскостью параллелизма состоит из двух линий - направляющих и плоскости параллелизма. При моделировании линейчатых поверхностей на эпюре Монжа в качестве плоскости параллелизма обычно используют проецирующую плоскость или одну из плоскостей проекций.

Все линейчатые поверхности могут иметь каркас в виде прямолинейных образующих. При этом построение образующих, принадлежащих заданной поверхности, удобно начинать на той плоскости проекций, где плоскость параллелизма вырождается в прямую линию.

20. Винтовые поверхности – это поверхности, которые образуются винтовым перемещением образующей в соответствии с рисунком 9.1д. Винтовые поверхности могут быть образованы как криволинейной, так и прямолинейной образующей. Непременным условием образования винтовой поверхности является условие перемещения образующей по винтовой линии.

Среди винтовых поверхностей можно выделить винтовой коноид (прямой геликоид), косой геликоид, эвольвентный геликоид и конволютный геликоид в соответствии с рисунком 9.5б. Принцип образования упомянутых винтовых поверхностей ясен из приведенных рисунков.

Прямой геликоид получается в результате движения прямой образующей, которая, пересекая ось под прямым углом, вращается вокруг оси по винтовой линии. Косой геликоид (Архимедов геликоид) получается в результате движения образующей, которая пересекает ось под углом, не равным 90 градусов.

Эвольвентный геликоид образуется, когда образующая во всех своих положениях остается касательной к цилиндрической винтовой линии. Угол наклона образующей к плоскости H равен углу подъема винтовой линии.

Конволютный геликоид образуется, когда образующая скользит по винтовой линии, оставаясь касательной к цилиндру. Угол наклона образующей к плоскости H не равен углу подъема винтовой линии.

21. При пересечении поверхности с плоскостью в сечении получают плоскую линию. Эту линию строят по отдельным точкам. В начале построения сперва выявляют и строят опорные точки, лежащие на контурных линиях поверхности, а также точки на ребрах и линиях основания поверхности. В тех случаях, когда проекция линии пересечения не полностью определяется этими точками, строят дополнительные, промежуточные точки, расположенные между опорными.

В данном разделе рассматриваются случаи пересечения поверхности плоскостями частного положения, так как в случае наличия секущей плоскости общего положения чертеж всегда можно преобразовать так, чтобы секущая плоскость стала проецирующей (см. рис. 129).

В случае пересечения гранной поверхности плоскостью получается плоская ломаная линия. Чтобы построить эту линию, достаточно определить точки пересечения плоскостью ребер и сторон основания, если имеет место пересечение основания, и соединить построенные точки с учетом их видимости

В случае пересечения цилиндрической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 124, б):

окружность, если секущая плоскость Г перпендикулярна оси вращения поверхности;

эллипс, если секущая плоскостьSum не перпендикулярна и не параллельна оси вращения;

две образующие прямые, если секущая плоскость U параллельна оси поверхности.

При пересечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 125, а - д):

окружность, если секущая плоскость Г перпендикулярна оси вращения (а);

эллипс, если секущая плоскость Sum1 пересекает все образующие поверхности (б);

парабола, если секущая плоскость (Sum2) параллельна только одной образующей (S- 1) поверхности (в);

гипербола, если секущая плоскость (Sum3) параллельна двум образующим (S-5 и 5-6) поверхности (г);

две образующие (прямые), если секущая плоскость (Sum4) проходит через вершину S поверхности (д).

При пересечении сферы плоскостью всегда получается окружность. Если секущая плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость окружность сечения проецируется без искажения (рис. 126, а). Если секущая плоскость занимает проецирующее положение, то на плоскости проекций, которой секущая плоскость перпендикулярна (рис. 126, б-на фронтальной), окружность сечения изображается отрезком прямой (12-42), длина которого равна диаметру окружности, а на другой плоскости - эллипсом, большая ось которого (51-61) равна диаметру окружности сечения. Этот эллипс строят по точкам. Точки видимости 2 и 3 относительно плоскости П1 лежат на экваторе сферы.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.