NG
.rtfКонические сечения
Конические сечения, линии, которые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трёх типов:
1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.
2) секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости.
3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.
22. Пересечение поверхностей
для того, чтобы построить линию пересечения двух поверхностей, нужно найти ряд общих точек, принадлежащих им, и затем эти точки соединить в определенной последовательности; для этого проводят вспомогательную секущую плоскость, находят линии пересечения этой плоскости с каждой поверхностью и на пересечении найденных линий получают искомые точки; последовательно вводя ряд вспомогательных плоскостей, находят необходимое число точек;
если обе поверхности цилиндрические или обе конические, или одна цилиндрическая, а другая коническая, то вспомогательные секущие плоскости следует проводить так, чтобы они пересекали обе поверхности по прямым линиям - образующим этих поверхностей. Точка пересечения образующей одной поверхности с образующей другой принадлежит линии пересечения;
наиболее просты случаи взаимного пересечения поверхностей, когда одна из поверхностей является проецирующей, т.е. образующие этой поверхности перпендикулярны какой-либо плоскости проекций. В этом случае проекции линии пересечения лежат на следе этой поверхности;
Линия, общая для обеих пересекающихся поверхностей, называется линией пересечения. Построение линий пересечения и их разметка на различных металлоконструкциях является одной из главных и сложных инженерных задач.
Существуют различные частные случаи пересечения поверхностей, обусловленные геометрическими и математическими закономерностями
В начертательной геометрии разработано множество методов построения линий пересечения поверхностей. Самыми распространенными методами являются метод секущих вспомогательных плоскостей и метод концентрических сфер.
Сущность метода вспомогательных секущих плоскостей заключается в том, что при помощи секущих плоскостей находятся общие точки, принадлежащие пересекающимся поверхностям. Наглядно суть метода представлена на рисунке 9.12б. Он содержит общий порядок решения:
1) Поиск характерных точек и построение их проекций (точки K и L);
2) Ввод секущей вспомогательной плоскости. В качестве вспомогательных плоскостей берут плоскости частного положения, которые образуют в сечениях поверхностей простые фигуры (принцип простых сечений);
3) Строят сечения поверхностей вспомогательной плоскостью (Сеч.I и Сеч.II);
4) Находят общие точки обоих сечений (точки 1 и 2);
5) Пункты 2, 3, 4 повторяют несколько раз (в учебных чертежах 5-7 раз) c новыми вспомогательными плоскостями;
6) Полученные точки соединяют плавной линией с учетом видимости проекций.
Метод концентрических сфер основан на частном случае пересечения поверхностей (пересечение тел вращения со сферой, когда ось тел проходит через центр сферы) (рисунок 9.12а). Сущность метода сфер заключается в том, что поверхности пересекают не плоскостями, а сферами. Это объясняется тем, что всякая сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает любую поверхность вращения по окружности, т.е. по линии, построение которой не вызывает затруднений. Далее находят линии пересечения поверхностей с проведенной сферой, после чего находят общие точки линий пересечения. Полученные точки являются точками линии пересечения поверхностей.
Центр сфер, как правило, выбирают в точке пересечения осей поверхностей (рисунок 9.13). Максимальный радиус сфер равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной характерной точки. Минимальный радиус сфер равен максимальной нормали, проведенной из центра сфер на боковую поверхность пересекающихся объектов.