Тема 2. Численные методы решения системных линейных алгебраических уравнений

Постановка задачи:

Дана система. Требуется ее решить методом обратной матрицы, методом Крамера, методом Гаусса, методом простой итерации, методом Гаусса-Зейделя.

2,3х1+3,4х3+0,8х3=-0,8

2,4х1-1,1х2+3,8х3=1,8

6,2х1-5,4х2-0,5х3=0,52

Решение:

2,3	3,4	0,8		-0,8
2,4	-1,1	3,8		1,8
6,2	-5,4	-0,5		0,52

1. Метод обратной матрицы

Обратная матрица

0,164953	-0,02051	0,108038
0,193842	-0,04783		-0,05339
-0,04807	0,262266		-0,08369

2. Метод Крамера

	определитель		127,733
-0,8	3,4	0,8
1,8	-1,1	3,8
0,52	-5,4	-0,5
	определитель		-14,396
2,3	-0,8	0,8
2,4	1,8	3,8
6,2	0,52	-0,5
	определитель		-34,3524
2,3	3,4	-0,8
2,4	-1,1	1,8
6,2	-5,4	0,52
	определитель		59,6532

3. Метод Гаусса

Sub metodo_gauss()

n = 3

Dim a(1 To 3, 1 To 3)

Dim b(1 To 3)

Dim x(1 To 3)

For i = 1 To 3

For j = 1 To 3

a(i, j) = Worksheets("Лист1").Cells(i, j).Value

Next j

Next i

For i = 1 To 3

b(i) = Worksheets("Лист1").Cells(i, 5).Value

Next i

For k = 1 To n - 1

For i = k + 1 To n

m = a(i, k) / a(k, k)

For j = k + 1 To n

a(i, j) = a(i, j) - m * a(k, j)

Next j

b(i) = b(i) - m * b(k)

Next i

Next k

x(n) = b(n) / a(n, n)

For i = n - 1 To 1 Step -1

s = 0

For j = i + 1 To n

s = s + a(i, j) * x(j)

Next j

x(i) = (b(i) - s) / a(i, i)

Next i

For i = 1 To 3

With Worksheets("Лист1")

.Range("K1").Value = x(1)

.Range("K2").Value = x(2)

.Range("K3").Value = x(3)

End With

Next i

End Sub

4. Метод простой итерации

Расчетная формула

Условие сходимости

6,2	-5,4	-0,5		0,52
2,3	3,4	0,8		-0,8
2,4	-1,1	3,8		1,8

Sub metod_prostoi_iteratzyi()

n = 3

e = 0.0001

Dim a(1 To 3, 1 To 3)

Dim b(1 To 3)

Dim x(1 To 3)

For i = 1 To 3

For j = 1 To 3

a(i, j) = Worksheets("Лист2").Cells(i, j).Value

Next j

Next i

For i = 1 To 3

b(i) = Worksheets("Лист2").Cells(i, 5).Value

Next i

x10 = 0

x20 = 0

x30 = 0

Do

x1 = (b(1) - a(1, 2) * x20 - a(1, 3) * x30) / a(1, 1)

x2 = (b(2) - a(2, 1) * x10 - a(2, 3) * x30) / a(2, 2)

x3 = (b(3) - a(3, 1) * x10 - a(3, 2) * x20) / a(3, 3)

c = Abs(x1 - x10) + Abs(x2 - x20) + Abs(x3 - x30)

x10 = x1

x20 = x2

x30 = x3

k = k + 1

Loop While c > e

With Worksheets("Лист1")

.Range("l1").Value = x1

.Range("l2").Value = x2

.Range("l3").Value = x3

.Range("l5").Value = k

End With

End Sub

5. Метод Гаусса-Зейделя

Расчетная формула

Условие сходимости

6,2	-5,4	-0,5		0,52
2,3	3,4	0,8		-0,8
2,4	-1,1	3,8		1,8

Sub metod_gaussa_zeidelya()

n = 3

e = 0.0001

Dim a(1 To 3, 1 To 3)

Dim b(1 To 3)

Dim x(1 To 3)

For i = 1 To 3

For j = 1 To 3

a(i, j) = Worksheets("Лист2").Cells(i, j).Value

Next j

Next i

For i = 1 To 3

b(i) = Worksheets("Лист2").Cells(i, 5).Value

Next i

x10 = 0

x20 = 0

x30 = 0

Do

x1 = (b(1) - a(1, 2) * x20 - a(1, 3) * x30) / a(1, 1)

x2 = (b(2) - a(2, 1) * x1 - a(2, 3) * x30) / a(2, 2)

x3 = (b(3) - a(3, 1) * x1 - a(3, 2) * x2) / a(3, 3)

c = Abs(x1 - x10) + Abs(x2 - x20) + Abs(x3 - x30)

x10 = x1

x20 = x2

x30 = x3

k = k + 1

Loop While c > e

With Worksheets("Лист1")

.Range("M1").Value = x1

.Range("M2").Value = x2

.Range("M3").Value = x3

.Range("M5").Value = k

End With

End Sub

Результаты:

х1	-0,1127	-0,1127	-0,1127	-0,11269	-0,11269
х2	-0,26894	-0,26894	-0,26894	-0,26895	-0,26895
х3	0,467015	0,467015	0,467015	0,467	0,467
	м. обр. м.	м. крам.	м. гаусса	м. пр. ит.	м. Г.-З.
				61	61

Вывод:

Существуют 2 группы решения СЛАУ: прямые(точные) и итерационные(приближенные).

1. Прямые методы - по существу аналитические методы. Это метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы. Их хорошо использовать, когда число уравнений невелико, позволяют получить абсолютно точный результат. К недостаткам относятся необходимость хранения в оперативной памяти всю матрицу коэффициентов, накапливание погрешности в следствие округления арифметических и других действий над числами. Не учитывается также структура матрицы, многие элементы которой могут быть равны нулю.

2. Итерационные методы – методы последовательных приближений. К ним относятся метод простой итерации и метод Гаусса-Зейделя. Важной чертой этих методов является самоисправляемость, простота, реализации. В случае сходящегося итерационного процесса ошибка в каком-то приближении исправляется в последующих вычислениях, и такое исправление требует нескольких лишних шагов единообразных вычислений.

Для данной системы одинаковое количество итераций требуется и для метода простой итерации, и для метода Гаусса-Зейделя.