Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Экспериментальные методы в биомеханике

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

29.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

в данном	направлении θ
на образец	(или его изобра-

жение) накладывается сетка, состоящая из параллельных тестовых линий; измерения повторяются в различных направлениях θ. Рис. 7.18,

7.21 и		7.22 иллюстрируют
подобное измерение.
На		практике			[11, 24]
среднее		расстояние			между
порами		принято		вычислять
по следующей формуле:
L		(θ ) = 2	∑l	A	, (7.49)
			I (θ )
	b			Ab

где Σl – суммарная длина тестовых линий, I(θ) – число пересечений между линиями сетки и границами кость– пора, AAb – относительная площадь кости. В результате серии измерений в различных направлениях будет получено синусоидальное распределе-

ние Lb(θ).

Среднее расстояние между порами как функция направления Lb(θ) может быть аппроксимировано уравнением эллипса

Рис. 7.21. Измерение среднего расстояния между порами в пористом материале

Рис. 7.22. Определение среднего расстояния между порами для одной тестовой линии на костном шлифе eα – eβ

1	2	mαα	+ mββ		mαα − mββ
	=			+		cos 2θ + m sin 2θ , (7.50)

			2	2		αβ
Lb (θ )

281

где индексы α и β (не суммировать!) обозначают соответственно оси eα и eβ в системе координат, введённой на плоскости костного шлифа, в которой проводятся измерения (рис. 7.22) В результате измерений получается эллипс, соответствующий формуле (7.50) – (см. рис. 7.23) [11, 24].

Harrigan и Mann в работе 1984 года [45], основываясь на экспериментально полученных данных, показали, что в трехмерном случае (во всех трехмерных губчатых структурах) среднее расстояние между порами Lb следует представлять в виде эллипсоида

	1	2
			= n M n,	(7.51)
			= n M n,	(7.51)

	Lb (θ )
где n – единичный вектор в направлении тестовой линии –				на шли-
фе костного образца определяется как
n = cos θ eα			+ sin θ eβ ,	(7.52)

поэтому оно эквивалентно симметричному, положительно определенному тензору второго ранга – тензору анизотропии.

Далее, прежде чем будет введено определение тензора структуры, необходимо напомнить причины, которые позволяют эллипсоиду ставить в соответствие симметричный тензор второго ранга. Как было сказано ранее, симметричному тензору второго ранга соответствует центральная поверхность второго порядка, которая называется характеристической поверхностью тензора и описывается уравнением (7.36). Можно утверждать и обратное: поверхность второго порядка, такая как эллипсоид, соответствует симметричному тензору второго ранга. Также согласно теореме об обратном тензорном признаке совокупность чисел Мij, учитывая формулу (7.27), преобразует векторную диаду в скаляр

1	= M	n n		.	(7.53)
			j
L2		ij i

Тогда согласно теореме об обратном тензорном признаке mαα, mββ, mαβ являются компонентами тензора анизотропии М, который в матричном представлении имеет вид

282

	m11 m12				m13
M = m			m	22	m	23	.
	12

	m13 m23				m33
Работы		Whitehouse						[70],
Harrigan и Mann [45], Turner
[64] и многие другие показали,
что тензор анизотропии М яв-
ляется	хорошей				мерой			для
описания структурной							анизо-
тропии	пористых				материалов,
в частности губчатой костной									Рис. 7.23. Эллипс структуры пористого
ткани [63].
Тензор		анизотропии						М	материала

может быть построен с помощью методики, описанной в работе [45], для кубического костного

образца. При исследовании трехмерного образца костной ткани необходимо провести исследование трех взаимно ортогональных плоскостей (построить эллипс структуры путем измерения различных по направлению Lb(θ) на исследуемых шлифах) и найти для каждой проекции соответствующие компоненты тензора анизотропии. При этом, поскольку обобщение трехмерной информации от плоских измерений, сделанных на трех взаимно перпендикулярных шлифах костного образца требует учитывать возможные вариации микроструктуры внутри исследуемого объема, а также не позволяет исключать погрешность измерений, необходимо ввести определенные поправочные коэффициенты, чтобы выполнялось следующее равенство:

(m11 / m22 )1,2 (m22 / m33 )2,3 (m33 / m11 )3,1 = 1 ,

(7.54)

где индексы 1 и 2 обозначают измерения, проведенные в плоскости костного шлифа e1 – e2 и т.д. Иначе говоря, необходимо ввести поправки вида

283

x1'= a1x1, x2 '= a2 x2	вплоскостиe1	− e2 ,
x2 '= a3 x2 , x3 '= a4 x3 вплоскостиe2 − e3 ,			(7.55)
x1'= a5 x1, x3 '= a6 x3	вплоскостиe1	− e3.

Учитывая введенные поправки, получаем

m11 '= a12 m11, m22 '= a22 m22 , m12 '= a1 a2m12 вплоскостиe1 − e2 ,

m22 '= a32 m22 , m33 '= a42m33 , m23 '= a3 a4m23 вплоскостиe2 − e3 , (7.56)

m11 '= a52 m11, m33 '= a62m33 , m13 '= a5 a6m13 вплоскостиe1 − e3

(см. [45]). Решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений позволяет уточнить компоненты тензора анизотропии М.

Работы [39, 55] и другие показали, что тензор анизотропии М является хорошей мерой для описания структурной анизотропии пористых материалов, в частности губчатой костной ткани. В 1986 году Cowin предложил называть тензор, алгебраически связанный с тензором анизотропии, тензором структуры [33]. Тензор структуры принято обозначать как Н (эта), он связан с тензором анизотропии М следующим образом [36, 63]:

1
Η = (M−1 )2.	(7.57)

При этом главные оси тензоров H и М совпадают, однако форма эллипсоидов, геометрически отображающих эти два тензора, несколько отлична друг от друга.

Отметим, что тензор структуры Н, определенный формулой (7.57), является изотропной тензорной функцией тензора анизотропии М [20, 27, 63]. Это значит, что мы имеем дело с тензорной функцией от тензорного аргумента, для которой должно выполняться следующее условие:

	1
Q O (3)	QΗ(M )Q T = H (QMQ T )= Q (M −1 )	2	Q T . (7.58)

Здесь под О(3) понимается полная ортогональная группа [20]

284

O (3) ≡ {Q : QQ T = Q T Q = 1 }.

(7.59)

Полученные результаты также позволяют определить степень анизотропии R эллипса структуры [70]. Если ввести обозначения

def

αα

+ m

def

αα

− m

def

α =

ββ

, β =

ββ

γ = mαβ

(7.60)

def

с2 = β 2 + γ 2 ,

(7.61)

то степень анизотропии R эллипса структуры вычисляется как

+ c

R =

(7.62)

− c

Рассмотрим теоретически, каким образом может быть опреде-

лён тензор анизотропии для плоского случая, а именно:

αα

αβ

M = m

αβ

ββ

Для определения трех компонент тензора M необходимо провести три измерения Lb(θ) для трех различных (желательно равноотстоящих друг от друга [72, 74]) направлений θ, а затем решить систему уравнений (7.50) относительно mαα, mββ и mαβ [11, 12].

Обозначим левую часть уравнения (7.50) как некоторую функцию f(θ), зависящую от измеряемых стереологических параметров, а именно:

	1	2
f (θ ) =		.	(7.63)
f (θ ) =		.	(7.63)

	Lb (θ )

В этом случае возможно получить зависимость компонент тензора М от этой функции в общем виде. Для простоты изложения произведём следующие обозначения:

285

def	),	def
fl = f (θ l	),	ψ l = 2θ l , l = 1, 2, 3,	(7.64)

где fl – значения введенной стереометрической функции для соответствующих направлений θl.

Тогда компоненты тензора анизотропии mαα, mββ и mαβ могут

быть определены по следующим общим формулам:

= f2 (1 − cos ψ

1 ) − f1 (1 − cos ψ 2 ) +

αα

cos ψ

2 − cos ψ 1

(7.65)

+ ψ

+ κ ctg

(1 − cos ψ

) − sin ψ

= f1 (1 + cos ψ 2 ) − f2 (1 + cos ψ 1 ) −

ββ

cos ψ

2 − cos ψ 1

(7.66)

+ ψ

− κ ctg

(1 + cos ψ

) + sin ψ

mαβ

= κ.

(7.67)

Функция κ, введенная для простоты изложения, может быть записана как


def	f	3 − k f	2 + f1 (k − 1)
κ=	sin ψ 3 − k sin ψ 2 + sin ψ 1 (k − 1)			,	(7.68)

где k – коэффициент, зависящий от выбранных направлений при стереологических измерениях

	def			− cos ψ
	k =	cos ψ	3		1	.		(7.69)
		cos ψ	2	− cos ψ	1

При этом должно выполняться условие
	sin(ψ 1 − ψ 2 ) + sin(ψ 2 − ψ 3 ) + sin(ψ 3 − ψ 1 )						≠ 0.	(7.70)

		2 f1 f2 f3

286

На практике наиболее распространенным случаем являются стереологические измерения для следующих направлений: θ1 = 0°, θ2 = 120° и θ3 = 240°. Тогда с учетом (7.65)–(7.67) компоненты тензора анизотропии могут быть записаны следующим образом:

		mαα			= f1 ,									(7.71)
m	=	1	(2		( f		+ f			) − f			),	(7.72)
m	=		(2		( f	2	+ f		3	) − f		1	),	(7.72)
ββ		3				2			3			1
		3
m	αβ	=		3 ( f			3	− f		2	),			(7.73)
	αβ			3			3			2
				3

где k = 1. При этом необходимое условие положительной определённости тензора М может быть записано как

f1 > 0,	f2 f3 + f1 f3 ) > (f12 + f22 +	(7.74)
2( f1 f2 +
		f32 ).

Для дальнейшего исследования также будут представлять интерес инварианты тензора анизотропии. В общем случае, с учетом сделанных выше обозначений, инварианты тензора М можно выразить в следующем виде:

(M) =

2( f1 cos ψ

2 − f2 cos ψ 1 )

−

cos ψ

2 − cos ψ

(7.75)

+ ψ

− 2κ ctg

cos

+ sin ψ

I 2 (M) =

2 f1 f2 (1− cos ψ

1 cos ψ

2 )− f12 sin 2 ψ 2 − f22 sin 2 ψ

(cos ψ

2 − cos ψ

1 )2

2 κ

[(f1 (1− cos ψ 1 cos ψ

2 )− f2 sin 2 ψ 1 )×

cos ψ

2 − cos ψ

(7.76)

1 + ψ 2

ctg

+ sin ψ 1 ( f2 cos ψ 1

− f1 cos ψ

2 )

−

1 + ψ 2

ψ 1 + ψ 2

− κ sin ψ

1 ctg

+1 ,

ctg

−1 − sin 2ψ

287

I3 (M) = 0 .

(7.77)

Тогда для углов измерения θ1 = 0°, θ2 = 120° и θ3 = 240° первый и второй инварианты тензора анизотропии могут быть записаны как

			I1	(M) =	2	( f1 + f2 + f3 ) ;	(7.78)

				3
I2	(M) = −	1	(f12 + f22 + f32 − 2( f1 f2 + f1 f3 + f2 f3 )).				(7.79)

	3

Учитывая выражение (7.57), связывающее тензор анизотропии М и тензор структуры Н, можно перейти к общей записи и для соответствующих компонент тензора структуры [12]. Если привести тензор М к диагональному виду

M =

→

(7.80)

αα

αβ

ββ

то тогда его компоненты λα и λβ могут быть определены как

f1 cos ψ

2 − f2 cos ψ

λ α

,β

−

cos ψ

2 − cos ψ

+ ψ

− κ(θ ) ctg

cos ψ

+ sin ψ

(7.81)

1 2

f2 − f1

1 + ψ

+ κ(θ ) ctg

+ (κ(θ ))

2 − cos ψ

cos ψ

Для углов измерения θ1 = 0°, θ2 = 120° и θ3 = 240° λα и λβ могут

быть записаны как

λ α ,β

[( f1 + f2 + f3 ) ±

(7.82)

± 2 f12 + f22 + f32 − f1 f2 − f1 f3

− f2 f3

288

Тогда тензор структуры Н примет вид

	(λ α	−12	0
Η =		)				(7.83)
		0	−	1	.
				2
			(λ β )

Тензор структуры описывает точечную анизотропию структуры (точнее, анизотропию некоего выделенного, конечного представительного объема), и поэтому его необходимо рассматривать как непрерывную функцию распределения материала [64]. С учетом методики определения тензора структуры можно сказать, что в общем случае тензор Н (как и тензор анизотропии М) зависит от размера, числа и расположения структурных элементов (пор, например) в исследуемом образце, то есть является функцией вида

Η = H(d , N , ω ),

(7.84)

где d, N и ω – величины, характеризующие размер микроструктурных элементов, их число и расположение на костном шлифе соответственно. Более точно проследить такого рода зависимость для реальных костных образцов чрезвычайно сложно, однако это возможно для некоторых идеализированных тестовых микроструктур, таких как на рис. 7.24 например.

Для данных микроструктур можно проследить зависимость компонент тензора структуры Н от числа пор N и геометрического параметра, характеризующего размер поры (радиуса R для изотропного образца и значения большой полуоси a для эллиптических пор структурированного образца) [11]. При этом в случае изменения одного из исследуемых параметров, второй будем считать постоянным. Отметим также, что в плоском случае для изотропного микроструктурного образца (рис. 7.24, а) матрица компонент тензора Н может быть записана следующим образом:

	η	αα	0
		αα		,
Η =		0	η αα	,
		0	η αα

а для структурированного микроструктурного образца (рис. 7.24, б) как

	η	αα	0
		αα
Η =		0	η ββ	.
		0	η ββ

289

Рис. 7.24. Тестовые изотропная (а) и структурированная (б) пористые микроструктуры

На рис. 7.25 показана зависимость компоненты тензора структуры ηαα от размера пор при их неизменном числе (N = 4) для изотропного образца. Для этого же образца на рис. 7.26 показана зависимость компоненты тензора структуры ηαα от числа пор для одного и того же размера пор (R = 1,25 мм).

Рис. 7.25. Зависимость компоненты тензора структуры ηαα от размера пор при их неизменном числе для изотропного образца

290

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4029 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги