книги / Экспериментальные методы в биомеханике

Простейший пример некоммутативности тензоров второго порядка может быть рассмотрен при их матричном представлении. Пусть

(см. [3]).

Известно, что симметричному тензору второго ранга Т соответствует центральная поверхность второго порядка, которая назы-

вается характеристической поверхностью тензора (тензорной по-

верхностью), а именно:

где Tij – компоненты тензора Т, ξi и ξj – координаты произвольной точки поверхности относительно декартовых осей с началом в центре поверхности, с – постоянная величина [7]. Можно утверждать и обратное: поверхность второго порядка, такая как эллипсоид, соответствует симметричному тензору второго ранга [7, 10].

Как известно из теории поверхностей, координатные оси всегда можно направить так, что в уравнении (7.36) коэффициенты Tij при i ≠ j относительно таких осей, называемых главными, обращаются в нуль и уравнение центральной поверхности второго порядка приводится к каноническому виду

где Ti – коэффициенты Tij при i = j.

Очевидно, что главные оси характеристической поверхности тензора T совпадают с главными направлениями тензора, а коэффициенты Ti – с его главными значениями, то есть Ti = λi.

271

При положительных и различных главных значениях тензора Т (λ 1 > λ 2 > λ 3 > 0) его характеристическая поверхность представляет

является сферой и тензор называется шаровым. У шарового тензора все направления главные и, следовательно, его компоненты не меняются при повороте координатных осей, то есть шаровой тензор (тензор, имеющий в качестве характеристической поверхности сфероид) является изотропным.

Когда главные значения тензора имеют различные знаки, например когда λ 1 > λ 2 > 0, λ 3 < 0 , уравнение (7.37) необходимо записать в двух видах:

В этом случае характеристическая поверхность тензора Т представляется поверхностью однополостного гиперболоида (7.39) и поверхностью двуполостного гиперболоида (7.40). Характеристическая поверхность в этом случае будет разделена асимптотической конической поверхностью

Примером характеристической поверхности вида (7.36) является поверхность напряжений Коши [7, 15]. Тензору напряжений (σij) в некоторой точке М тела соответствует характеристическая поверхность с центром в точке М, которая определяется уравнением (7.36) и называется поверхностью напряжений Коши (рис. 7.16).

Здесь ξi компоненты радиуса-вектора r относительно локальной системы координат с началом в точке М. Направляющие косинусы r

272

Таким образом, если конец радиуса-вектора r , направление которого перпендикулярно рассматриваемой площадке, располагается на поверхности напряжений Коши, то нормальное напряжение на данной площадке

2

σ rr = c 2 . (7.44) r

Рассмотрим другой способ графического представления на- пряженно-деформированного состояния данной точки тела [7].

Координатные оси совместим с главными осями тензора σij для некоторой точки М тела. При таком направлении координатных

273

осей касательные компоненты σij (i ≠ j) тензора напряжений будут равны нулю, а нормальные компоненты будут главными напряже-

ниями (σij = σi).

Рассмотрим проходящую через данную точку тела произвольную площадку, положение которой определяется направляющими косинусами α nj = n j единичного вектора n , нормального к данной

площадке ( ni – компоненты вектора n ).

Проекции на координатные оси вектора напряжения pn на этой площадке есть координаты xi точки, совпадающей с концом вектора pn .

x1 = pn1 = σ 1n1 , x2 = pn2 = σ 2 n2 , x3 = pn3 = σ 3n3 . (7.45)

Подставив значения nj из последних равенств в зависимость между направляющими косинусами n12 + n2 2 + n32 =1, получим уравнение эллипсоида с полуосями, равными главным напряжениям σ11, σ22, σ33. Этот эллипсоид называется эллипсоидом напряжений

или эллипсоидом Ляме [7, 15] (рис. 7.17).

Поверхность эллипсоида напряжений представляет собой геометрическое место концов векторов напряжений pn на всем множестве площадок, проходящих через данную точку М тела.

274

воря, поверхность Коши дает полное геометрическое представление для любого тензора второго ранга, в том числе и для тензора напряжений. Эллипсоид Ламе – другой геометрический образ напряжённого состояния – дает представление о векторах напряжений на всём множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку тела.

Если тензор Т – положительно определенный, то в силу (7.33) все собственные значения положительны и поверхность, описываемая уравнением (7.36), представляет собой эллипсоид, главные направления которого совпадают с направлениями главных полуосей эллипсоида.

При решении многих задач механики требуется рассматривать, сравнивать тензорные величины, что возможно осуществлять, приводя тензоры к главным осям в единой системе координат. Симметричные тензоры второго ранга A и B называются соосными, если их собственные направления совпадают, при этом их собственные значения различны [3].

Скалярное произведение соосных тензоров A и B образует симметричный тензор

поэтому это скалярное произведение – коммутативно, т.е. переставимо.

является коммутативность матриц А и B [3].

275

7.5. Тензор структуры для трабекулярной костной ткани, его построение и свойства

В разд. 7.1 данной главы упоминалось, что трабекулярная костная ткань является неоднородной пористой анизотропной структурой. Известно, что механические свойства губчатой костной ткани также анизотропны и в значительной мере определяются ее внутренней архитектурой. При этом трабекулы в живой губчатой кости располагаются закономерно, сообразно тому, какие внешние нагрузки испытывает данная кость, о чём говорит закон Вольфа для костной ткани [30, 31, 34, 39, 75]. В связи с этим возникает необходимость введения величины, которая учитывала бы структурные особенности губчатой кости и могла бы быть легко встроена в зависимость строение– свойства материала, иначе говоря, в количественное описание микроструктуры кости.

Идея создания специального тензора, который в настоящее время принято называть fabric tensor (тензор структуры), возникла из целого ряда попыток количественно охарактеризовать твердую микроструктуру упругого пористого материала (в частности, губчатой кости).

Количественное описание структурных особенностей зернистых и пористых материалов возможно осуществить методами количественной стереологии. Напомним, что стереология определяется как «методы исследования трехмерного пространства, когда доступны только двухмерные сечения твердых тел или их проекции на плоскости» [66]. Стереология чрезвычайно полезна при измерении величин, относящихся к структуре и составу кости. Важную роль при этом играют основные стереометрические соотношения. Первое соотношение, известное как принцип Делесса, было эмпирически получено в 1847 году французским геологом Delesse. Дальнейшие соотношения были получены многими стереологами,

например Smith (1953), Салтыковым (1958), Weibel (1963)

и Underwood (1967) [18, 66, 68]. Впервые к проблеме исследования анизотропии зернистых материалов обратился российский ученый Салтыков в книге «Стереологическая металлография» (1958) [18]. В дальнейшем идеи Салтыкова были детализированы в классиче-

276

ской работе Underwood [70]. Измерение структурной анизотропии биологических материалов методами количественной стереологии было впервые рассмотрено Hillard (1967) [45, 47] и широко применялось, например, в работах Weibel [68]. Описание структуры губчатой кости методами количественной стереологии впервые было осуществлено в серии работ Whitehouse (см., например [70–74]).

Общепризнано, что пористость, одна из важнейших стереометрических величин, позволяет описывать микроструктуру пористых материалов. Существует множество эмпирических и теоретических работ, устанавливающих зависимость свойств материала (например, модулей упругости) от пористости. Подобные работы, как видно из [33, 39], проводились на многих пористых материалах: пене, горных породах, пористом стекле, некоторых синтетических и порошковых материалах, губчатой кости. Однако одной пористости недостаточно для того, чтобы охарактеризовать строение локальной твердой структуры пористого материала, в том числе геометрию губчатой костной ткани. Для того чтобы точно описать анизотропию структуры, должны быть введены дополнительные геометрические меры локальной структурной анизотропии (Cowin, 1978)

[33].

Gudehus в 1970 году предложил ввести тензор второго ранга для того, чтобы охарактеризовать микроструктуру зернистого материала, но он не детализовал точный вид взаимосвязи тензора второго ранга с локальной микроструктурой. Тогда же Mullenger сделал подобное предложение [32]. Экспериментальная работа Oda (1972) на зернистых материалах показала выраженную взаимосвязь между напряженно-деформированным состоянием материала и средним направлением нормалей к тангенциальной плоскости контакта между зернами. В 1976 году он предложил концепцию эллипсоида структуры, который наглядно характеризовал распределение материала по структуре [32, 33, 55]. В 1978 году Cowin обратил внимание на то, что эллипсоид структуры эквивалентен тензору второго ранга, отмечая, что для пористых материалов эллипсоид структуры является наилучшей мерой описания распределения материала по структуре [32, 33]. В 1980 году Oda, Konishi и Nemat-Nasser исполь-

зовали концепцию эллипсоида структуры, аргументируя это тем,

277

что для зернистых материалов эллипсоид структуры является второй наилучшей мерой микроструктуры в зернистых материалах после пористости [32].

Внастоящее время признано, что наиболее удачным способом описания локальной структуры многих пористых и композиционных материалов и, в частности, локальной структуры губчатой кости (в том числе степени ее анизотропии) является симметричный, положительно определенный тензор второго ранга, названный тензором структуры и обозначенный H [33]. В работе [55] означенный тензор, как кажется, впервые был назван fabric tensor.

Важно отметить, что метод определения тензора структуры для различных пористых и зернистых материалов может изменяться

взависимости от типа исследуемого материала, а иногда для одного и того же материала – в зависимости от предпочтений исследователя. В данном случае «мы подходим к проблеме, в которой методология неотделима от вопроса о природе исследуемого объекта» [17].

Однако в первую очередь тензор структуры всегда является симметричным, положительно определённым тензором второго ран-

га, который характеризует локальное геометрическое расположение твердого материала или микроструктуру пористого материала.

Взернистых и пористых материалах, таких как сплавы, пена, губка и трабекулярная кость, тензор структуры может быть связан с изменением радиуса-вектора по модулю при изменении его направления, а данный радиус-вектор можно связать, например, со средним

278

ления ориентации контактных нормалей, то есть нормаль в точке контакта между двумя зернами. Это распределение периодически повторяется относительно направления и может быть представлено эллипсоидом. Oda [32, 55] показал, что трехмерное распределение контактных нормалей зерен в окрестности точки в зернистой среде может быть представлено в виде эллипсоида структуры (рис. 7.19). При исследовании горных пород структуру лучше определять путем подсчета числа третрещин на поверхности камня,

Также тензор структуры может быть сформирован способом, аналогичным способу

Whitehouse [70] или Harrigan

и Mann [45].

Тензор структуры, построенный для губчатой костной ткани, позволяет компактнов тензорной форме описать ани-

анизотропию костной структуры, причем его главные значения позволяют охарактеризовать распределение материала вдоль главных направлений. Существенной особенностью тензора структуры является его всеобщность: посредством этого тензора можно описать структурные особенности любой губчатой кости человека.

Описание костной структуры в терминах тензора структуры (или связанных с ним величин) осуществлялось для различных кос-

279

тей человека. Harrigan и Mann исследовали пять образцов губчатой кости, иссеченных из костей различных пациентов: проксимальный отдел бедренной кости, большеберцовую кость, коленную чашечку, седалищную кость и область вертлужной впадины [45]. В серии работ Whitehouse [70, 72] было проведено подробное количественное морфологическое исследование губчатой структуры проксимального отдела бедренной кости человека. Также исследовались трабекулярные структуры тела поясничного позвонка [70], гребень подвздошной кости, область вертлужной впадины тазовой кости человека [72] (см. рис. 7.10). Напомним, что автор предложил определять среднее расстояние между порами (mean intercept length) L как функцию направления на полированной поверхности сечения губчатой кости [70].

В стереологии среднее расстояние между порами L позволяет описать степень анизотропии материала. Напомним, что согласно классическому определению Underwood среднее расстояние между порами – это «среднее расстояние между двумя границами кость– пора, измеряемое вдоль определенного направления» [66], то есть L является функцией направления линии θ, вдоль которой производится измерение. Whitehouse показал, что когда среднее расстояние между порами в губчатой кости отображается в полярной системе координат как функция направления, то в этом случае получается распределение, совпадающее с эллипсом. Таким образом, если L измерять в различных направлениях, задавая углы измерения θ, то полученная зависимость L(θ) может быть аппроксимирована уравнением эллипса (см. разд. 7.3).

Для определения среднего расстояния между порами (и дальнейшего построения тензора структуры) необходимо осуществить определение ряда вспомогательных стереометрических величин. Отметим при этом, что все стереологические измерения следует проводить на плоском шлифе губчатой кости (или изображении этого шлифа), специально подготовленном для этого. В первую очередь определяется относительная площадь кости на поверхности шлифа, обозначаемая как AAb. Другая измеряемая величина – это число пересечений между линиями специальной тестовой сетки и границами кость– пора, обозначаемое как I(θ). Для определения L

280