книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

тогда из (2.8.106) и (2.8.107) находим напряжения и перемещения в круговом цилиндре при кручении:

Для приложений важное значение имеет интенсивность тензора напряже­ ний (2.5.65), которую в данном случае находим по формуле

Максимальное значение интенсивности достигается на внешней поверх­ ности цилиндра при г = а и составляет crwmax = 4М^/(тга3) — это значение пропорционально крутящему моменту МI и обратно пропорционально третьей степени радиуса цилиндра. □

§ 2 .9 . О с е с и м м е т р и ч н ы е за д а ч и т е о р и и у п р у г о с т и

2.9.1. Общие уравнения

Некоторые твердые тела обладают цилиндрической анизотропией — для них главный базис анизотропии са (х) совпадает не с ёа, а с физическим базисом цилиндрической системы координат er , е^, ez, и поэтому различен при переходе от одной точки тела к другой. Цилиндрической анизотропи­ ей обладают многие композиционные материалы, образованные намоткой, а также конструктивно-анизотропные материалы (подкрепленные металлокон­ струкции, вафельные оболочки и др.).

Пусть для линейно-упругого тела выполнены следующие условия:

лагать совпадающей с осью Ох3 и осью Oz цилиндрической системы координат Огфг;

2)тело является цилиндрически ортотропным во введенной цилиндриче­ ской системе координат;

3)векторы плотности массовых сил f' в V, поверхностных усилий \!пе на

иих компоненты в базисе ег,еф,ег не зависят от ф, а зависят только от

гя z :

Тогда решение квазистатической задачи линейной теории упругости (2.6.63) также будет осесимметричным, т. е. компонента иф вектора перемеще­

имеет следующие ненулевые компоненты, также зависящие только от г и г:

Обратные к (2.9.5) определяющие соотношения запишем с помощью ком­ понент тензора упругих податливостей (2.6.14), выраженных через техниче­

Согласно (2.9.3)-(2.9.5), все выписанные компоненты тензоров напряже­

Уравнения равновесия в задаче (2.6.63), записанные относительно напря­ жений (форма (2.2.9а)), при переходе к цилиндрической системе координат

Граничные условия из (2.6.63) с учетом (2.9.2) в осесимметричном случае

Подставляя (2.9.4) и (2.9.5) в граничные условия (2.9.9) и (2.9.10), выра­ зим их через перемещения:

(пг{\\иг,г + А§иг/ г + A§uZjZ) + n z \% {ur ,z + ^ z ,r))^ = tneri

Задачу (2.9.13)—(2.9.15) называют осесимметричной задачей в переме­ щениях.

2.9.3. Функции напряжения в осесимметричной задаче

Если массовые силы потенциальны, т. е. существует такая скалярная функция x(r,z), что

то можно ввести две функции напряжения Ф(r,z) и y(r,z), удовлетворяющие соотношениям

(Ф и 7 никак не связаны с функциями (2.8.15) для двумерных задач). Непосредственной проверкой несложно убедиться, что выражения (2.9.17)

с учетом (2.9.16) тождественно удовлетворяют уравнениям равновесия (2.9.7). Подставляя (2.9.6) в (2.9.12), выражаем уравнения совместности через

напряжения:

Здесь использованы соотношения взаимности из (2.9.6) для коэффициентов Пуассона.

Подставляя выражения (2.9.17) в (2.9.18), получаем систему двух уравне­ ний относительно двух функций напряжений Ф и у, а (2.9.17) в (2.9.9а) — граничные условия для этих уравнений на поверхности £ двумерной области. В результате получим формулировку осесимметричной задачи в напряже­ ниях.

2.9.4. Задача Ламе

Рассмотрим случай, когда осесимметричное тело представляет собой по­ лый цилиндр с внешним и внутренним радиусами гд и г\ (рис. 2.9.1), на боковых поверхностях которого заданы равномерные давления ре2 и ре\,

Рассмотрим предельный случай очень тонкого цилиндра, для которого h = = h/r2 <С 1, где h = Г2 — г\, тогда пренебрегая малыми по величине членами,

Эту простую формулу часто применяют в инженерных расчетах для оценки тангенциальных напряжений в тонкостенных цилиндрических оболочках.

Поскольку максимальное значение радиальных напряжений в такой обо­ лочке max |<тг| = max{|pei|, |_ре21}, то при конечных значениях перепада дав­ лений (ре1—ре2) и малой толщине h значения тангенциальных напряжений &ф(\) оказываются существенно больше максимальных значений радиальных напряжений max |оу|. Таким образом, эти напряжения являются наиболее опасными при оценке возможной потери прочности оболочки (при &ф(\) > 0) или потери ее устойчивости (при сгф(\) < 0).

§ 2.10. Оболочки и пластины

2.10.1. Понятия оболочки и пластины

Одними из наиболее широко применяемых на практике типов конструкций являются оболочки и пластины — тела, у которых характерный размер в одном из направлений h существенно меньше двух других характерных размеров lj: h/li <С 1. Обычно полагают, что модели теории оболочек доста­ точно адекватны при соотношениях h/li ^ 1/20. Частным случаем оболочек можно считать и стержни — тела, у которых два характерных размера h\ и h2 намного меньше третьего характерного размера 1: hi/l 1. Оболочки, пластины (плоские оболочки) и стержни из различных материалов являются основой современных строительных конструкций: зданий, мостов, корпусов автомобилей, самолетов и кораблей, ракет и спутников. Уравнения теории оболочек широко используют при проектировании таких конструкций.

Дадим следующее геометрическое определение оболочки.

говоря, криволинейные) координаты Х \ в которых это тело представля­ ет собой окрестность Vh двумерной поверхности HQ (см. т. 1, п. 3.2.19).

Если для тела V в качестве указанных координат Х г можно выбрать прямоугольные декартовы координаты х \ то такое тело называют пластиной.

Понятие окрестности поверхности Vh предполагает, что в выбранных координатах Х г две координаты X 1 являются координатами некоторой спе­ циальной поверхности SQ, называемой срединной поверхностью оболочки,

2.10.2. Основные уравнения линейной теории упругости в ортогональных координатах

При построении моделей оболочек в качестве исходной рассмотрим квазистатическую задачу линейной теории упругости в форме (2.2.9):

Запишем эти уравнения в ортогональных координатах Х г, введенных выше для оболочек.

Используя выражение (т. 1, (2.6.41)) для дивергенции тензора второго ранга V • сг в ортогональных координатах, уравнение равновесия (2.10.10а) запишем в следующем виде:

Греческие индексы, как всегда в подобных формулах, меняются циклическим образом.

Соотношения Коши (2.10.10в) в координатах X 1 записываем, используя формулы (т. 1, (2.6.37)) для линейного тензора деформации над вектором перемещений и:

В формулах (2.10.11)—(2.10.13) и далее обозначены физические компо­ ненты тензоров сг и в, а также вектора и в ортонормированном физическом

ее главные оси ортотропии Оса совпадают с осями Ога построенной для оболочки системы координат (векторы г/ = с/ являются касательными к ли­ ниям главных кривизн срединной поверхности оболочки), тогда компонентное представление определяющих соотношений (2.10.106) в базисе га имеет еле-