книги / Прочность и колебания элементов конструкций

С возрастанием скорости движения центробежная сила избыточ­ ных противовесов растет как квадрат скорости, но если мы примем во внимание возрастание и динамического коэффициента, то придем к заключению, что напряжения, вызываемые в рельсе рассматривае­ мой динамической причиной, растут быстрее квадрата скорости. Приняв, например, в рассмотренном выше случае вдвое большую скорость, мы получили бы для динамического коэффициента вместо 1,07 величину 1,33. Соответствующие динамические напряжения воз­ растут в отношении 4-1,33/1,07=4,97. Особое значение приобретает динамический эффект в том случае, когда период вынуждающих коле­ бания сил приближается к периоду собственных колебаний колеса на рельсе. Конечно, пока мы будем рассматривать лишь силы, период которых совпадает с временем оборота колеса, то упомянутого выше сближения периодов при встречающихся скоростях движения ожи­ дать нельзя, но есть силы с более короткими периодами. Например, ведущей оси паровоза передаются силы инерции от движущихся взад и вперед частей. Для этих сил можно принять выражение qi cos 2сot и соответствующий динамический коэффициент представится так:

I

Этот коэффициент может получить значительные размеры и при скоростях, встречающихся на практике.

Пользуясь предыдущими результатами, мы можем перейти теперь к общему выражению для вынуждающей колебания силы Q, входя­ щей в уравнение (15). В самом общем случае мы можем представить эту силу в виде тригонометрического ряда *)

Q = а г coscat-f-at cos2oai + . . .-f-61sin<i»/-f-

-f-ftiSin2ca/-+-. . . + ? ( 1 +Pm ).

Вставляя это в уравнение (15), получим общее решение его в та­ ком виде:

jr- Л с о з y ^ l + B sin У j - f + M l+Pflt) +

+ г ^ & г , « я М + ■■■+ т М ц s'" “ ' + n r t f e sto2‘“' + • ■•

Откуда динамический коэффициент для любого члена силы Q мо­ жет быть без затруднения вычислен.

1) Если изменение Q за оборот колеса представлено кривой, то разложение в тригонометрический ряд проще всего может быть выполнено анализатором или по

следняя книга представляет прекрасное краткое изложение приближенных методов вычисления.

§ в. Влияние неправильностей колеса и рельса на напряжения в рельсах

При совершенно правильной форме колеса и рельса, пренебре­ гая местными вдавливаниями в точках касания колеса и некоторой общей деформацией колеса, мы могли считать вертикальные пере­ мещения центра тяжести колеса равными соответствующему проги­ бу рельса. Если на колесе или рельсе имеются какие-либо непра­ вильности, то указанного равенства существовать не будет и нам придется несколько видоизменить уравнение (15). Обозначим через т) глубину впадины на рельсе или на колесе, отсчитывая ее от уровня правильного рельса или окружности правильного колеса. В таком случае вертикальному прогибу рельса у будет соответствовать опу­ скание колеса, равное у-\-т), где т) — ордината впадины рельса или колеса, соответствующая точке касания. Если вид впадины нам из­ вестен, то при заданной скорости движения ^ представится вполне определенной функцией от времени t. Дифференциальное уравнение для вертикальных перемещений колеса напишется так:

Следовательно, наличие на колесе впадины, определяемой функ­ цией г], равносильно приложению к колесу добавочной переменной силы, равной

здесь выражение вызываемого этой силой перемещения за промежу­ ток времени от 0 до какого-либо момента t.

Если действие непрерывной силы q>(t) представить себе как ряд последовательных толчков, то интересующее нас перемещение легко может быть представлено в виде некоторого определенного интегра­ ла. Возьмем в пределах рассматриваемого промежутка времени ка­ кой-либо момент t,. Ему соответствует сила <p(ti). За промежуток времени dti эта сила сообщит массе колеса q/g скорость, равную qyitjdtjq. Скорости этой, сообщенной в момент tlt будет соответ­ ствовать в момент t, т. е. через промежуток времени t—tu перемеще­ ние

<P(*i)3in [ j / f (* -* i)] dt,.

Этот результат может быть сразу написан, если воспользоваться формулой второго члена в выражении (16). Зная, как сказывается на величине перемещения в момент t действие силы ф(^) за проме­ жуток времени dtx, находим полное вертикальное перемещение колеса за промежуток времени t в виде такого интеграла:

> ^ 7 7 j,<p('l)sin[>/ r (22)

Это перемещение представляет собой тот дополнительный про­ гиб рельса, который обусловлен впадиной на колесе или рельсе.

вступление колеса на впадину не будет сопровождаться резким изменением прогиба рельса у и его производной по времени. Этому условию будет, например, удовлетворять такое выражение для глубины впадины (рис. 7):

Л = у ( 1 —cos

Здесь через f обозначена наибольшая глубина впадины, I — длина впадины. Начало координат совпадает с началом впадины. Отсчи­ тывая t от начала впадины, представим для данного случая урав­ нение (20) в таком виде:

Вставляя значение ф(/) в выражение (22), найдем для прогиба рельса, вызванного наличием впадины, такое выражение:

Этот результат можно несколько упростить, если воспользоваться обозначениями Т = 2п У X/g, Т х = l/v.

3 4 4 К ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ РЕЛЬС

Величина Т представляет собой период колебаний колеса на рельсах, 7\ — время пробега колесом впадины.

Для дополнительного прогиба получаем выражение

при помощи которого может быть учтено влияние впадины на про­ гиб при любом значении t, лежащем в пределах

О< /< Г х .

После пробега впадины мы будем иметь лишь свободные колеба­ ния, амплитуда которых легко может быть определена по значению

у и у' в момент t= T 1.

Если длина впадины известна, то по заданной скорости движения вычисляем период Тг и после этого из выражения (23) без труда на­ ходим наибольшее положительное и наибольшее отрицательное зна­ чение у за время пробега впадины. Как только колесо вступает на впадину, сейчас же уменьшается давление на рельс, рельс несколько приподнимается, уменьшается прогиб, вызванный статическим дей­ ствием колеса. Колесо при этом начинает опускаться вниз и приобре­ тает вертикально вниз направленную скорость. Благодаря этой ско­ рости за вторую часть времени пробега колесом впадины давление на рельс возрастает и может достигнуть весьма значительной ве­ личины. Поясним это численными примерами. Положим 7\=7У2, т. е. время пробега впадины колеблется в пределах примерно от 1/40 сек до 1/50 сек.

Составляя производную по / от выражения (23) и приравнивая

из которого могут быть найдены значения времени t, соответствую­ щие утах и ут1л. При Тх=Т12 первый корень дает нам /=0,427V

Этому моменту соответствует наименьшее значение у, равное

УшЫ= - Т Т ~ щ (°.875 + °-25°) = - О б ­

следующий корень уравнения (24) будет больше 7\. Поэтому для получения утах за время пробега впадины полагаем в решении (23) t=Ti. Таким образом, получаем t/max= 1,33/. Если 7’1=2773, то первый корень уравнения (24) будет f=0,3857V Этому корню соответствует наименьшее значение

Кш1й= —0,64/.

3 4 6 К ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ РЕЛЬС

Во-вторых, по формуле (23) можно для заданной формы впадины найти наибольшее значение прогиба, выраженное через /, но при переходе от прогиба к усилиям приходится принимать во внимание жесткость пути. Одному и тому же прогибу будет соответствовать

Вертикальные перемещения колеса будут определяться урав­ нением

т.е. таким же уравнением, как и при отсутствии неровностей. Влияние уклона скажется лишь в момент прохождения колесом

точки О. Если правильное колесо, находящееся под действием по­ стоянных сил, катится по горизонтальному правильному рельсу, то вертикальная скорость его равна нулю, и мы при изучении влия­ ния уклона должны положить для начального момента (время от­ считываем от точки О)

<*(У+ Л)_А

А4 dt

Так как при заданной форме неровности

то, следовательно, в начальный момент

В момент перехода колеса на уклон возникают свободные коле­ бания, соответствующие найденной начальной скорости. Допол­ нительные прогибы, вызываемые переходом колеса на уклон.

При а=0,002,и=22,2 м/сек и Х=0,072 см ‘) найдем, что амплитуда

вынужденных колебаний равна 0,0382 см.

Если вес колеса составляет 0,125 от полного статического давле­ ния на рельс, то динамические напряжения, соответствующие най­

ний. Вообще динамические прогибы в этом случае будут пропорцио­ нальны со) и пропорциональны а напряжения пропорциональ­ ны av и обратно пропорциональны |/Х.

Имея выражение для колебаний, возникающих при изменении уклона, легко исследовать вопрос о влиянии впадин, очерченных по какой-либо ломаной линии. Возьмем в качестве примера впадину (рис. 9), глубина которой сначала увеличивается по линейному закону, а потом по тому же закону убывает *).

При глубине впадины / и длине ее I уклон, на который колесо вступает в точке О, равен 2f/l и возникающие в этот момент колеба­ ния определяются формулой

(26)

Выражение это остается в силе, пока колесо находится на уклоне, т. е. в пределах 0<^<17У2. В середине впадины происходит измене­ ние уклона, возникнут новые колебания, которые сложатся с только что найденными. Если принять во внимание, что здесь изменение уклона равно 4/// и направлено в сторону, обратную тому, что мы имели в точке О, то легко написать для колебаний на второй

*) См. П е т р о в Н. П. Напряжения в рельсах от вертикальных давлений катящихся колес. Влияние скорости и неправильного вида колес. С.-Петербург, тип. министерства путей сообщения (Кушнарев И. Н. и К®), 1907, 120 стр. См. стр. 77.

8) Там же, стр. 87.

®) Целый ряд численных примеров этого рода рассмотрен в цитированных на стр. 331 и 335 трудах Н. П. Петрова.

3 4 8 К ВОПРОСУ О ПРОЧНОСТИ РЕЛЬС

половине впадины такое выражение:

< 2 7 >

справедливое в пределах 7’1/2s£;/^;7,1.

Наконец, в конце впадины произойдет еще одно изменение укло­ на, и мы получим новое колебательное движение. Суммируя все эти колебания и пользуясь выражениями для Т и Т1г получим для вертикальных перемещений колеса после прохождения впадины та­ кое значение:

Прогиб, вызванный впадиной, и в этом случае зависит лишь от глубины впадины и времени пробега впадины 7\.

Так как можно себе представить, что длина впадины меняется пропорционально скорости, то заключаем, что вызванные впадиной колебания не зависят от скорости движения. Задаваясь величинами / и Т1гмы при заданной жесткости пути легко находим при помощи формул (26), (27) и (28) вертикальные прогибы в любой момент вре­

Суммируя прогибы от колебаний со статическим прогибом, най­ дем, что для рассмотренного промежутка времени наибольший про­ гиб, равный 0,962 см, соответствует моменту оставления колесом впадины. Этот максимальный прогиб равен 2,1 от статического про­ гиба.

Наибольшее отрицательное значение прогиба на протяжении первой половины впадины определится из выражения (26).

Оно получается при 7\ весьма малом, т. е. при весьма короткой впадине, и равняется —/. Наибольшее положительное значение про­ гиба на протяжении второй половины впадины найдется из выра­ жения (27).

Считая Ti заданным и приравнивая нулю производную от (27) по t, получаем уравнение

2 л / 0 ( 2 я / пТЛ

cos-y- = 2cosl -у------.

При изменении / в пределах от Тх12ц,оТх левая часть уравнения будет изменяться в пределах от cos (nT jT) до c.os(2nTJT), а пра­

*) Числа соответствуют примеру Н. П. Петрова. См. стр. 86 работы, упомяну­ той в сноске *) на стр. 336.