Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А. Н. Туполева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А.Н.Шерстнев - Математический анализ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

2.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

f(x; y) dy NEPRERYWNA NA [a; b].

(x1; y) (y 2 0) IMEEM kz , z1k = kx , x1k < I, SLEDOWATELXNO,

jZ00	f (x; y)dy	,	Z00		f (x1; y) dyj Z00 jf(x; y) , f(x1; y)j dy

					"
					"
		<		m( 00) Z00		dy = ":	>

w SLEDU@]EM UTWERVDENII PARAMETR WHODIT NE TOLXKO W PODYNTEGRALX- NU@ FUNKCI@, NO I W PREDELY INTEGRIROWANIQ.

3. pUSTX ';

| NEPRERYWNYE FUNKCII NA OTREZKE [a; b]; '(x)

(x)

b),

I FUNKCIQ f (x; y)

ZADANA I NEPRERYWNA NA MNOVESTWE

(x)

(x; y) a

b; '(x)

(x) . tOGDA FUNKCIQ F (x)

Z'(x)

iZ USLOWIJ TEOREMY SLEDUET, ^TO KOMPAKTNO. pUSTX " > 0 PROIZ-

WOLXNO. wWEDEM• NESKOLXKO KONSTANT (IH KONE^NOSTX SLEDUET IZ USLOWIJ

TEOREMY): =

inf

'(x); = sup

(x). dOOPREDELIM f NA PRQMOUGOLX-

x2[a;b]

NIKE [a; b] [ ; ], POLAGAQ

f (x; y);

ESLI (x; y) ,

f(x; y) =

8 f (x;

(x));

ESLI x

[a;2b];

(x) < y

ESLI x

[a; b];

y < '(x)

< f (x; '(x));

(f | NEPRERYWNOE PRODOLVENIE f NA UKAZANNYJ PRQMOUGOLXNIK (!!)).

pUSTX M > 0 TAKOWO, ^TO

f (x; y)

((x; y)

), A

0 TAKOWO,

^TO ODNOWREMENNO WYPOLNQ@TSQ OCENKI:

8x; x0 2 [a; b] (jx , x0j < ) j'(x) , '(x0)j ;j (x) , (x0)j <

8(u; v); (u0; v0) 2 [a; b] [ ; ] (k(u; v) , (u0; v0)k < )

jfe(u; v) , fe(u0; v0)j <

3( , ).

211

eSLI TEPERX jx , x0j < ;

(x; x0

2 [a; b]), TO

(x)

(x0)

jF (x) , F (x0)j = jZ'(x)

f (x; y) dy , Z'(x0)

f (x0; y)dyj

(x)

jZ'(x)

[f (x; y)

f (x0; y)] dy

)

(x)

+ Z'(x)

f(x0; y)dy , Z'(x0)

f(x0; y) dyj0

(x)

'(x )

Z'(x) 0 j

f (x; y)

(x0; y)

dy +

jZ'(x)

f (x0; y) dy

)

(x )

(x)

Z'(x0)

f (x0; y) dy +

f(x0; y)dy

, Z'(x0)

f(x0; y)dy

(x0)

)

'(x

[ (x) , '(x)] +ejZ'(x)

jf (x0; y)j dyje

)

+ jZ

(,x)

(x0) f (x0; y)dyj

"=3 + M

'(x0)

'(x) + M

(x)

(x0) < ":

e j

4. t E O R E M A [OB INTEGRIROWANII PO PARAMETRU]. w USLOWIQH P. 3

(x)

f (x; y)dy = Z Z f (x; y)dxdy:

Za F (x)dx = Za

dxZ'(x)

w ^ASTNOSTI, Za (Zc

f (x; y)dy)dx =

(Za

f (x; y)dx)dy.

|TO SLEDSTWIE P. 3

123. oTMETIM, ^TO IZ 123.1 SLEDUET LI[X, ^TO

FUNKCIQ F (x) = Zc

f(x; y) dy (a

b) INTEGRIRUEMA PO x. iZ P. 3

SLEDUET DOPOLNITELXNO, ^TO F NEPRERYWNA.

5. p R I M E R. wY^ISLIM

lim

exp

dx. nEPOSREDST-

!0+ p2 Za

f,2 2 g

WENNO PRIMENITX TEOREMU P. 2 ZDESX NE UDAETSQ• . tAK KAK NAS INTERESUET

ZNA^ENIE PREDELA W TO^KE 0, OGRANI^IMSQ PROMEVUTKOM 0 < 1. pUSTX
SNA^ALA 0 < a < b. tOGDA FUNKCIQ
	1		x2
f (x; ) = 8 p		2 expf,2 2 g dx;		ESLI > 0; a x		b,
< 0;				ESLI = 0; a	x		b,
:

212

| NEPRERYWNOE PRODOLVENIE PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII NA PRQMOUGOLX-

NIK f(x; )j a x b; 0 1g (!!). iZ P. 2

!0+ Za

!0+

2 2

lim

exp

dx = lim

f (x; )dx =

f (x; 0)dx = 0:

aNALOGI^NO RAWEN NUL@ PREDEL INTEGRALA PRI a < b < 0. pUSTX TEPERX a = 0 < b. pODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W \TOM SLU^AE NE PRODOLVAETSQ PO NEPRERYWNOSTI NA PRQMOUGOLXNIK [0; b] [0; 1]. dELAQ W INTEGRALE ZAMENU t = x= , IMEEM

	1		b		x2
	1				x2
!0+ p		2 Z0		f, 2 2 g		dx =
lim				exp		dx =

s U^ETOM• 132.10 IMEEM OKON^ATELXNO

!0+ p2 Z0

f, 2 g

lim

exp

1 expf,

g dt:

0+ p2

a f, 2 2 g

lim

exp

dx =

1=2;

ESLI 0 62[a; b],

ESLI a = 0 ILI b = 0, ESLI 0 2 (a; b).

x134. dIFFERENCIROWANIE SOBSTWENNYH INTEGRALOW

1. pUSTX = U

[c; d], GDE U OTKRYTO W R, I f;

NEPRERYWNY NA

. tOGDA

d @f

f (x; y) dy = Zc @x (x; y) dy (x 2 U ):

pOLOVIM F (x) = Zcdf (x; y)dy (x 2 U ). pUSTX [a; b] U I a < x < b. pO

FORMULE lAGRANVA IMEEM DLQ MALYH h

F (x + hh) , F (x) = Zcd f (x + h; yh) , f (x; y) dy = Zcd @f@x (x + h; y)dy;

ZDESX 0 < < 1. pRIMENQQ 133.2 K 0

= [a; b]; 00

= [c; d], IMEEM

d @f

F 0(x) = lim

[F (x + h)

F (x)] =

(x; y) dy:

h!0

213

2. pUSTX ';				: [a; b] ! R NEPRERYWNY, DIFFERENCIRUEMY NA (a; b);
'(x)	(x). fUNKCIQ f ZADANA I NEPRERYWNA NA MNOVESTWE = f(x; y)j
a x b; '(x)				y	(x)g, A	@f	OPREDELENA I NEPRERYWNA W TO^KAH
a x b; '(x)				y	(x)g, A	@x	OPREDELENA I NEPRERYWNA W TO^KAH
(x; y) 2	TAKIH, ^TO a < x < b. tOGDA
		d	(x)
		d
		dxZ'(x)		f (x; y) dy = f (x; (x)) 0(x) , f (x; '(x))'0(x)
						(x)
					+ Z'(x)			@f	(x; y)dy (a < x < b):
					+ Z'(x)			@x	(x; y)dy (a < x < b):

pUSTX f | PRODOLVENIE f , RASSMOTRENNOE W 133.3. pOLAGAQ F (x) =

(x)

f(x; y) dy (a < x < b), IMEEM DLQ MALYH h

Z'(x)

(x+h)

(x)

[F (x + h) , F (x)] =

[Z'(x+h)

f (x + h; y) dy

, Z'(x)

f(x; y) dy]

'(x)

(x+h)

Z'(x+h)f (x + h; y)dy +

f(x + h; y) dy

(x)

(ex + h; y)

Z'(x)

, f (x; y)] dy:

iSPOLXZUQ FORMULU lAGRANVA I NEPRERYWNOSTX

, IMEEM

(x) 1

[f(x

+ h; y)

f (x; y)] dy =

(x) @f

(x; y)dy:

lim

Z'(x) @x

h!0 Z'(x)

s U^ETOM•

TEOREMY O SREDNEM (SM. 50.4) IMEEM PRI h ! 0:

(x+h)

hZ (x)

f (x + h; y)dy

= fe(x + h;

(x + hh) ,

(x)

(x) + [

(x + h) ,

(x)])

f(x;

(x)) 0(x).

! e

'(x)

aNALOGI^NO, lim

+ h; y)dy =

f(x; '(x))'0(x):

hZ'(x+h)

h!0

3. p R I M E R. pUSTX J( ) =

exp

( > 0). nAJDEM•

J ( ).

f, 2

mNOVESTWO U = f j > 0g OTKRYTO W R I expf,2 2 g;

d expf,

2 2 g =

214

expf,2 2 g (a

b) NEPRERYWNY. sOGLASNO P. 1

d J ( ) =

3 Za

expf,2 2 g dx.

x135. rAWNOMERNAQ SHODIMOSTX NESOBSTWENNYH INTEGRALOW,

ZAWISQ]IH OT PARAMETRA

dLQ IZU^ENIQ FUNKCIJ, ZADANNYH NESOBSTWENNYMI INTEGRALAMI, ZA- WISQ]IMI OT PARAMETRA, PRIWLE^EM• (NOWOE DLQ NAS) WAVNOE PONQTIE RAW- NOMERNOJ SHODIMOSTI TAKIH INTEGRALOW.

1. pUSTX A | ABSTRAKTNOE MNOVESTWO (PARAMETROW) I Rn LOKALX- NO J -IZMERIMO. pUSTX f : A ! R TAKOWA, ^TO INTEGRAL

(1)	J ( ) = Z f ( ; x)dx; 2 A

OBLADAET EDINSTWENNOJ OSOBENNOSTX@ W TO^KE x0				2	, [ f1g, NE ZAWI-
SQ]EJ OT , I SHODITSQ PRI L@BOM 2 A. gOWORQT, ^TO INTEGRAL J ( )
SHODITSQ RAWNOMERNO,	ESLI (SLU^AJ x0 2	, ):
8" > 0 9 0 > 0 8 < 0 8 2 A (j		Z	f ( ; x)dxj < ")
	\B		(x0)

LIBO (SLU^AJ x0 = 1 ):

8" > 0 9N0 > 0 8N > N0 8 2 A (j nBZN ( ) f( ; x) dxj < "):

2. z A M E ^ A N I E. bOLEE SLOVNYM QWLQETSQ SLU^AJ, KOGDA OSOBENNOSTX

1	dx
	dx
ZAWISIT OT PARAMETRA. nAPRIMER, W INTEGRALE Z0 jx , j		OSOBENNOSTX

ZAWISIT OT = ( ; ). |TIM SLU^AEM MY ZANIMATXSQ NE BUDEM. oTMETIM PROSTOJ, NO POLEZNYJ PRIZNAK RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI.

3. [pRIZNAK wEJER[TRASSA]. pUSTX INTEGRAL (1) OBLADAET EDINST-

WENNOJ OSOBENNOSTX@ W TO^KE x0 2 , [f1g, PRI^•EM SU]ESTWUET FUNK- CIQ ' : ! R TAKAQ, ^TO jf ( ; x)j '(x) DLQ L@BYH ( ; x) 2 A I,

KROME TOGO, INTEGRAL Z '(x)dx SHODITSQ. tOGDA INTEGRAL J ( ) SHODIT-
SQ RAWNOMERNO.

215

f ( ; x)dx SHODITSQ RAWNOMERNO,

1A) INTEGRAL

pUSTX, NAPRIMER, OSOBENNOSTX x0 2 , | SOBSTWENNAQ TO^KA. pO USLO- WI@ PRIZNAKA 8" > 0 9 0 > 0 ( Z '(x) dx < "). pO\TOMU 8 < 0:

\B 0 (x0)

j	Z	f ( ; x)dxj	Z		jf ( ; x)jdx		Z	'(x) dx
\B		(x0)	\B	(x0)		\B (x0)
					'(x)dx < ":		>


			\BZ0 (x0)

pRIZNAK wEJER[TRASSA MOVET SRABOTATX W SLU^AE, KOGDA INTEGRAL (1) SHODITSQ ABSOL@TNO. pRIWEDEM• DOSTATO^NYJ PRIZNAK RAWNOMERNOJ SHODI- MOSTI (W SLU^AE | OTREZOK W R1), KOTORYJ MOVET OKAZATXSQ POLEZNYM, KOGDA ABSOL@TNOJ SHODIMOSTI NET.

4. pUSTX A | MNOVESTWO PARAMETROW I INTEGRAL

K ( ) = Z bf( ; x)g( ; x)dx ( 2 A)

IMEET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE b 2 R[f+1g, PRI^•EM f( ; x), @x@g ( ; x) NEPRERYWNY PO x PRI KAVDOM . eSLI, KROME TOGO, WYPOLNENY USLOWIQ (PRIZNAK dIRIHLE)

1D) SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO

8 < b 8 2 A Z f ( ; x)dx M ;

2D) g( ; x) MONOTONNO UBYWAET aPO x PRI KAVDOM , PRI^•EM

8" > 0 9c < b 8 2 A (x 2 (c; b) ) jg(x)j < ");

LIBO WYPOLNENY USLOWIQ (PRIZNAK aBELQ)

2A) g OGRANI^ENA KAK FUNKCIQ DWUH PEREMENNYH I MONOTON- NA PO x PRI KAVDOM 2 A;

| TOGDA INTEGRAL K( ) SHODITSQ RAWNOMERNO.

216

pRIZNAK dIRIHLE. pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO, I c WYBRANO SOGLASNO 2D.
iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM, IMEEM PRI c < < < b
	x		@g( ; x)	Z	x
Z	f ( ; x)g( ; x)dx = g( ; x)Z	f( ; y)dy ,Z	@x	Z	f (y)dy dx
(2)	= g( ; )Z f ( ; y)dy , Z @g(@x; x)Z xf (y)dy dx.
iZ OCENKI

Z f ( ; x)g( ; x) dx

SLEDUET

Z@g( ; x)

2M" @x dx

Z@g( ; x)

=2M" , 2M @x dx

=2M" + 2M [g( ; ) , g( ; )] 4M"+ 2M

!b, Z

f ( ; x)g( ; x) dx

lim

( ; x)g( ; x)dx

4M":

pRIZNAK aBELQ. pUSTX jg( ; x)j M ( 2 A; a x < b); " > 0 PROIZ-

WOLXNO I c TAKOWO, ^TO (SM. 1A)

8 ; (c < < < b ) jZ f( ; y)dyj < "):

pUSTX DLQ OPREDEL•ENNOSTI g( ; x) NE UBYWAET PO x PRI KAVDOM , TAK

^TO

@g( ; x)

0. iZ RAWENSTWA (2) IMEEM:

@g( ; x)

f ( ; x)g( ; x)dx

M" +

@g( ; x)

" M + Z @x

"[M + g( ; ) , g( ; )]

3"M:

p R I M E R. iSSLEDUEM NA RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX INTEGRAL

I( ) = Z0

sint

dt;

2 A = [0; a]. pRIZNAK wEJER[TRASSA ZDESX

NEPRIMENIM, TAK KAK I(0) SHODITSQ NE ABSOL@TNO (SM. 130.4). pRIMENIM

217

PRIZNAK dIRIHLE, POLAGAQ f ( ; t)

e, t sint; g(t)

= 1=t. uSLOWIE 2D

UDOWLETWORQETSQ. pROWERIM 1D: DLQ L@BYH > 0; 2 A:

e, t sin t dt

sint

cost

e, t

jZ0

1 +

1 + 2 j(, sin , cos )e,

+ 1j a + 2:

x136. oPERACII NAD NESOBSTWENNYMI INTEGRALAMI,

ZAWISQ]IMI OT PARAMETRA

sNA^ALA USTANOWIM SWOJSTWO NEPRERYWNOSTI INTEGRALA PO PARAMETRU I SFORMULIRUEM USLOWIQ, PRI KOTORYH TAKOJ INTEGRAL MOVNO INTEGRI- ROWATX PO PARAMETRU.

1. pUSTX A Rm; Rn ZAMKNUTY, A INTEGRAL
J( ) = Z	f( ; x) dx; 2 A;

IMEET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE x0 2			[ f1g	I SHODIT-
SQ RAWNOMERNO. dOPUSTIM E]•E, ^TO PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ f ( ; x)
NEPRERYWNA (KROME, BYTX MOVET, TO^EK WIDA ( ; x0 ) W SLU^AE, ESLI OSO-
BENNOSTX x0 2 ). tOGDA
1) J( ) \| NEPRERYWNAQ FUNKCIQ PARAMETRA ,
2) ESLI K TOMU VE A J-IZMERIMO, TO
Z J( )d = Z		dxZ f ( ; x)d :
A		A

uSTANOWIM 1). pUSTX 0 2 A FIKSIROWANO I A0 = Br[ 0]\A. dOSTATO^NO DOKAZATX NEPRERYWNOSTX J ( ) ( 0 2 A0 ) W TO^KE 0. pUSTX, NAPRIMER, OSOBENNOSTX x0 2 | SOBSTWENNAQ TO^KA. dLQ PROIZWOLXNOGO " > 0 W SILU RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI INTEGRALA J( ) SU]ESTWUET 0 > 0 TAKOE, ^TO

8 < 0 8 2 A (j \BZ(x0) f( ; x) dxj < "=3):

218

mNOVESTWA A0; nB (x0) OGRANI^ENY I ZAMKNUTY, TAK ^TO K INTEGRALU

nBZ(x0)

f ( ; x) dx

PRIMENIMA

TEOREMA

133.2.

iMENNO,

SU]ESTWUET

> 0 ( < r) TAKOE, ^TO

k , 0k < ) j

[f( ; x)

, f( 0; x)]dxj < "=3:

(x0)

tAKIM OBRAZOM

k , 0k <

WLE^ET

•

jJ( ) , J( 0)j j

[f ( ; x) , f( 0; x)] dxj + j

f ( ; x) dxj

nB (x0)

\B (x0)

+ j

f ( 0; x)dxj < ":

\B (x0)

pEREHODIM K DOKAZATELXSTWU SWOJSTWA 2). mY IMEEM

(1)

Z J( )d = Z d

f( ; x)dx + Z d

f ( ; x)dx:

\B (x0)

nB (x0)

w SILU RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI INTEGRALA J( )

(2)

lim

f( ; x) dx

m(A) lim sup

f ( ; x)dx

= 0:

!0+j

!0+

(x0)

wTOROJ INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI (1) QWLQETSQ SOBSTWENNYM, I W NEM• MOV- NO IZMENITX PORQDOK INTEGRIROWANIQ. pEREHODQ ZATEM K PREDELU PRI! 0+ W (1), POLU^IM S U^ETOM• (2)

!0+

J ( )d =

lim

f( ; x)d =

f ( ; x)d :

nB (x0)

sLEDU@]EE SWOJSTWO KASAETSQ USLOWIQ DIFFERENCIROWANIQ NESOBST- WENNOGO INTEGRALA PO PARAMETRU. oGRANI^IMSQ SLU^AEM, KOGDA MNOVES- TWO PARAMETROW | OTREZOK ^ISLOWOJ PRQMOJ.

2. pUSTX ZAMKNUTO, INTEGRAL J ( ) = Z f ( ; x)dx (a		b)
	2 [ f1g.
IMEET EDINSTWENNU@ OSOBENNOSTX W TO^KE x0	2 [ f1g.	dOPUSTIM

219

E]•E, ^TO f ( ; x);

( ; x) NEPRERYWNY NA [a; b] (KROME TO^EK WIDA

( ; x0 ) W SLU^AE, KOGDA OSOBENNOSTX x0

2 ). pUSTX

(i)

J ( ) SHODITSQ PRI L@BOM

[a; b],

SHODITSQ RAWNOMERNO NA

(ii)

J1( ) = Z @ ( ; x) dx

[a; b],

tOGDA

d Z

f ( ; x)dx = Z

@ ( ; x) dx.

dOSTATO^NO PROWERITX

^TO

J ( ) |

PERWOOBRAZNAQ DLQ

( ).

s U^ETOM

P. 1 IMEEM

•

Za J1 ( )d = Z dxZa

( ; x)d =

Z [f ( ; x)

, f (a; x)] dx

= Z f ( ; x)dx + C = J( ) + C:

3. p R I M E R. wY^ISLIM J =

sin t

dt. dLQ \TOGO RASSMOTRIM

INTEGRAL K ( ; ) = Z0+1e,t

sin t

dt ( 2

0). s^ITAQ PODYN-

TEGRALXNU@ FUNKCI@ RAWNOJ PRI t = 0, IZ 135.5 NAHODIM, ^TO PRI

FIKSIROWANNOM INTEGRAL K( ; ) SHODITSQ RAWNOMERNO PO NA KAVDOM

OTREZKE [0; a]. pO\TOMU

(3)

J = K(0; 1) =

lim K

( ; 1):

!0+

pUSTX

@K( ; )

0; IZ P. 2 SLEDUET, ^TO

cos t dt (TAK

KAK INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI SHODITSQ RAWNOMERNO PO PRI FIKSIRO-

@K ( ; )

WANNOM ). iNTEGRIRUQ (SM. 43.7), NAHODIM

= 2

+ 2

, OTKUDA

K ( ; ) = arctg( =a) + C ( ). oDNAKO, C( ) = K( ; 0) = 0, TAK ^TO IZ (3)

J = lim arctg(1= ) = =2:

!0+

220

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 5122 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.03.20151.3 Mб176_er_er_files_book894_book.pdf
#
12.03.20153.46 Mб4_Simple Standart`s №1.NOTES.pdf
#
12.03.20153.84 Mб4_Simple Standart`s №2.NOTES.pdf
#
23.11.2019118.41 Кб3_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
25.11.2019349.45 Кб5_Хохлов ДГ Материалы к аттестации по ОС 2012.rtf
#
12.03.20152.83 Mб32А.Н.Шерстнев - Математический анализ..pdf
#
31.07.2019877.57 Кб7а15_ДУ.doc
#
17.04.2019372.22 Кб11Абзалов Цифра.doc
#
17.09.20191.05 Mб109Авиационное и радиоэлектронное оборудование сам...doc
#
12.03.2015709.63 Кб47Автоматизированный измеритель характеристик и.docx
#
12.03.2015124.94 Кб36Автомобильные войска Российской Федерации.docx